Ortonormalność

Ortonormalność – ortogonalność wraz z dodanym warunkiem unormowania, tzn. wymagania, aby elementy ortogonalne miały długość jednostkową (były wersorami)^[1]. Jest to podstawowa własność wektorów bazy ortonormalnej danej przestrzeni unitarnej.

Definicja

Wektory ${\displaystyle x,y}$ przestrzeni unitarnej ${\displaystyle X}$ z iloczynem skalarnym ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ są ortonormalne, jeżeli

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\begin{cases}0,&x\neq y\\1,&x=y\end{cases}}.}$

Zbiór wektorów parami ortonormalnych ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$ nazywa się układem ortonormalnym, wtedy też

${\displaystyle \langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij},}$

gdzie ostatni symbol nazywa się czasami deltą Kroneckera.

Ortonormalizacja

Jeżeli dany jest układ wektorów ortogonalnych ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n},}$ to można go przekształcić do układu ortonormalnego ${\displaystyle \{w_{i}\}_{i=1}^{n}}$ za pomocą transformacji

${\displaystyle w_{i}={\frac {v_{i}}{\sqrt {\langle v_{i},v_{i}\rangle }}}={\frac {v_{i}}{\|v_{i}\|}}.}$

Powyższa operacja nazywana bywa również unormowaniem ortogonalnego układu wektorów.

Funkcje ortonormalne

Podobnie jak dla funkcji ortogonalnych rozpatruje się również abstrakcyjne przestrzenie unitarne wielomianów, czy dowolnych funkcji, gdzie mówi się o wielomianach ortonormalnych i funkcjach ortonormalnych.

Przypisy