Półgrupa

Półgrupa – grupoid, w którym działanie jest łączne, czyli zbiór ${\displaystyle A}$ z określonym na nim działaniem dwuargumentowym ${\displaystyle \cdot ,}$ w którym dla wszelkich elementów ${\displaystyle a,b,c\in A}$ zachodzi^[1]:

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).}$

Gdy działanie jest dodatkowo przemienne, półgrupę nazywa się przemienną bądź abelową.

Szczególnymi przypadkami półgrup są:

• monoidy, w których wyróżniony jest ponadto element neutralny działania ${\displaystyle \cdot }$;
• grupy, w których dodatkowo istnieje element neutralny, a każdy element ma dany element odwrotny.

Przykłady

• Pełna półgrupa transformacji dowolnego zbioru.
• Półgrupa relacji dwuargumentowych ustalonego zbioru.
• Liczby całkowite dodatnie z dodawaniem.
• Liczby całkowite z mnożeniem (również z dodawaniem, jako grupa przemienna).
• Zbiór mas umieszczonych w punktach zbioru wypukłego ${\displaystyle W\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ z działaniem, które dwóm masom przyporządkowuje sumę ich mas wraz z ich środkiem masy: półgrupa na zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times W,}$ której działanie zadane jest wzorem

  ${\displaystyle {\bigl (}(m_{1},\mathbf {x} _{1}),(m_{2},\mathbf {x} _{2}){\bigr )}\mapsto \left(m_{1}+m_{2},{\frac {m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right).}$

• Półgrupa macierzy Reesa.

Zobacz też

• półgrupa cykliczna
• półgrupa regularna

Przypisy

Bibliografia

• J. M. Howie, An introduction to semigroup theory, Academic Press, 1976.