Półprosta

Prosta, półprosta i odcinek. Dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka (tzw. nulki) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.

Półprosta – figura geometryczna składająca się z punktów prostej leżących po jednej stronie pewnego punktu tej prostej^[1]. Punkt ten jest nazywany początkiem półprostej^[a]. Bardzo często do tak określonej półprostej dołącza się początek półprostej – mówimy wówczas o półprostej domkniętej (z początkiem)^[2]. W przeciwnym wypadku mówimy o półprostej otwartej (bez początku).

Półprostą o początku w punkcie A i przechodzącą przez punkt B oznaczamy jako półprostą AB. Niekiedy półprostą nazywa się promieniem^[3]. Często wygodnie jest oznaczać przez A/B promień otwarty wychodzący z punktu A i nieprzechodzący przez punkt B^[4]. Inaczej mówiąc, promień A/B składa się z tych punktów prostej AB, które leżą po przeciwnej stronie punktu A niż punkt B.

Inne definicje półprostej

• Półprostą (domkniętą) o początku w punkcie A można też zdefiniować jako maksymalny podzbiór prostej przechodzącej przez punkt A, taki że punkt A należy do tego podzbioru, ale nie leży on między żadnymi dwoma innymi punktami tego podzbioru.
• Półprostą (domkniętą) AB można również zdefiniować jako sumę mnogościową wszystkich odcinków o końcu w punkcie A zawierających punkt B^[5].

Własności

• Zbiór rzędnych punktów danej półprostej jest albo zbiorem jednopunktowym (gdy półprosta jest zawarta w prostej prostopadłej do osi rzędnych), albo przedziałem nieskończonym. To samo można powiedzieć o zbiorze odciętych punktów półprostej^[b].
• Dla każdych dwóch różnych punktów A i B półproste A/B i B/A są rozłączne. Suma mnogościowa tych promieni i odcinka ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ jest równa prostej AB:

${\displaystyle A/B\cup {\overline {AB}}\cup B/A={\text{prosta }}AB}$

• Na zbiorze półprostych (promieni) zawartych w danej prostej można określić relację równoważności R_k. Promienie p₁ i p₂ są w niej równoważne, jeśli jeden z nich jest zawarty w drugim:

${\displaystyle p_{1}R_{k}p_{2}\Leftrightarrow p_{1}\subset p_{2}\vee p_{2}\subset p_{1}}$

Relacja ta ma dwie klasy równoważności nazywane kierunkami promieni na tej prostej.

Zobacz też

• prosta
• odcinek
• kąt

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Borsuk Karol, Szmielew Wanda: Podstawy geometrii. Warszawa: PWN, 1970.
• H. S. M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
• Ryszard Doman: Wykłady z geometrii elementarnej. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 1998.
• А. Д. Александров: Основания геометрии. Москва: Наука, 1987.