Płaszczyzna Niemyckiego

Płaszczyzna Niemyckiego – przykład przestrzeni topologicznej szeroko wykorzystywany jako kontrprzykład w wielu pytaniach dotyczących topologii ogólnej. Konstrukcja płaszczyzny Niemcykiego pojawiła się w książce Topologie I Pawła Aleksandrowa i Heinza Hopfa z roku 1935. Autorzy sam pomysł przykładu przypisują Wiktorowi Niemyckiemu.

Konstrukcja

Niech ${\displaystyle L}$ będzie górną półpłaszczyzną zawierającą oś odciętych, tzn. niech

${\displaystyle L=\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geqslant 0\}.}$

W zbiorze ${\displaystyle L}$ można wprowadzić topologię ${\displaystyle \tau _{N}}$ poprzez określenie bazy otoczeń ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbf {x} )}$ każdego punktu ${\displaystyle \mathbf {x} \in L{:}}$

• jeśli ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2})\in L}$ i ${\displaystyle x_{2}>0,}$ to niech

${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbf {x} )=\{V(\mathbf {x} ,i):i=1,2,3,\dots \},}$ gdzie ${\displaystyle V(\mathbf {x} ,i)=\left\{\mathbf {z} \in L:d(\mathbf {x} ,\mathbf {z} )<{\frac {1}{i}}\right\}}$ a ${\displaystyle d}$ oznacza standardową odległość na płaszczyźnie,

• jeśli ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},0)\in L,}$ to niech

${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbf {x} )=\{U(\mathbf {x} ,i):i=1,2,3,\dots \},}$ gdzie ${\displaystyle U(\mathbf {x} ,i)=\{\mathbf {x} \}\cup \left\{\mathbf {z} \in L:d(\mathbf {y} ^{i},\mathbf {z} )<{\frac {1}{i}}\right\}}$ a ${\displaystyle \mathbf {y} ^{i}=\left(x_{1},{\frac {1}{i}}\right).}$

Przestrzeń topologiczna ${\displaystyle (L,\tau _{N})}$ nazywana jest płaszczyzną Niemyckiego.

Własności

• Płaszczyzna Niemyckiego ${\displaystyle (L,\tau _{N})}$ jest ośrodkową przestrzenią Tichonowa (ośrodkiem tej przestrzeni jest, na przykład, zbiór tych punktów, które mają obydwie współrzędne wymierne).
• Przestrzeń ta zawiera domkniętą dyskretną podprzestrzeń mocy continuum (np. zbiór ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2})\in L:x_{2}=0\}}$ jest dyskretny i mocy continuum). W szczególności, ${\displaystyle (L,\tau _{N})}$ jako przestrzeń ośrodkowa zawierająca podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, nie jest przestrzenią normalną.
• Każdy domknięty podzbiór płaszczyzny Niemyckiego jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.
• Przestrzeń ${\displaystyle (L,\tau _{N})}$ jest zupełna w sensie Čecha.

Bibliografia

• Paweł Aleksandrow, Heinz Hopf: Topologie I. Wyd. pierwsze. Berlin: Springer, 1935.
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 36, 60, 71, 98, 273, 342, 391, 400.