Paczka trojańska

Ruch paczki trojańskiej – gęstość prawdopodobieństwa elektronu w czasie

Paczka trojańska lub trojańska paczka falowa (ang. Trojan wave packet lub Trojan Wavepackets) – w mechanice kwantowej stan stacjonarny hamiltonianu Starka-Zeemana, który jest również pakietem falowym w układzie współrzędnych nie poruszającym się względem obserwatora. Źródło silnego promieniowania cyklotronowego o częstotliwości optycznej lub mikrofalowej.

Paczka trojańska jest generowana podczas wzbudzania rozrzedzonego gazu wodorowego w silnym polu lasera lub mikrofal. Obserwacja paczki trojańskiej wiąże się z obserwacją przewidywań atomu Bohra w laboratorium fizycznym. Jest ona także przykładem poprawności twierdzenia Ehrenfesta, wyjaśniającego tzw. zasadę korespondencji pomiędzy mechaniką klasyczną i kwantową, tzn. dlaczego normalnie niewidzialna mechanika kwantowa posiada granicę klasyczną postrzeganą na co dzień. Paczka trojańska została po raz pierwszy zaobserwowana w eksperymencie w 2004 na Uniwersytecie Wirginii w USA na wysoce ekscentrycznej orbicie eliptycznej, a w 2009 w oryginalnej konfiguracji na orbicie kołowej poprzez rozszerzanie tej orbity eliptycznej adiabatyczną zmianą polaryzacji mikrofal z liniowej do kołowej.

Paczka trojańska jest również przykładem kwantowego stanu Glaubera lub inaczej stanu koherentnego, dla elektronu, a nie dla pola elektromagnetycznego, za którego odkrycie i znaczenie w teorii światła spójnego przyznano w 2005 roku nagrodę Nobla z fizyki. Ściślej odpowiada ona światłu spójnemu w ściśniętym stanie koherentnym spolaryzowanemu kołowo.

Podstawy modelu

Symulacja klasyczna paczki trojańskiej na komputerze ZX Spectrum. Funkcja falowa paczki przybliżona jest przez zbiór (100) punktów rozrzuconych początkowo wewnątrz elipsy przypominającej kształtem paczkę (maksymalny region lokalizacji) i poruszających się zgodnie z równaniami Hamiltona (Newtona). Mechanika kwantowa wprowadzona jest do symulacji we współrzędnych skalowanych jedynie w postaci wielkości początkowej elipsy rozmycia warunków początkowych (im mniejsze tym wyższa liczba kwantowa). Rozmycie w chwili zero odpowiada średniej liczbie kwantowej paczki około n=400. Dla zademonstrowania znaczenia rotującego pola potrzebnego do lokalizacji po pięciu okresach obiegu paczki następuje wyświetlenie symulacji pięciu okresów bez pola kiedy to „paczka” złożona z punktów rozpływa się całkowicie po okręgu dookoła jądra. Film pokazuje symulację w znacznie przyśpieszonym tempie, w rzeczywistości trwa około 15 godzin. Kolory punktów nie mają znaczenia.

Ponieważ paczka trojańska jest przybliżonym stanem własnym hamiltonianu jej poszukiwanie zaczyna się od równania Schrödingera dla atomu wodoru w polu fali spolaryzowanej kołowo w układzie współrzędnych obracającym się z częstością fali

gdzie:

i jest operatorem z-towej składowej momentu pędu.

Dla uproszczenia można ograniczyć się tylko do dwóch wymiarów przestrzennych. Równanie to po pominięciu członów krzywizny laplasjanu i założeniu wolnoznozmienności, a stałości niektórych członów przybiera wtedy we współrzędnych biegunowych uproszczoną, odseparowaną postać

gdzie a jest punktem minimum potencjału części hamiltonianu zależnej od współrzędnej radialnej i dlatego promieniem orbity klasycznej. Ponieważ potencjał radialny ma minimum paczka trojańska jest w tej teorii iloczynem dobrze zlokalizowanej radialnej funkcji Gaussa i dobrze zlokalizowanego wzbudzonego stanu wahadła matematycznego, odpowiadającej stanowi wahadła odwróconego do góry będącego funkcją Mathieu o wartości charakterystycznej (i energii) równej w dobrym przybliżeniu Bardziej dokładna teoria pokazuje, że jest to wahadło o ujemnej masie równej –1/3 masy elektronu i dlatego jest to jego stan podstawowy o takiej samej energii w odwróconym spektrum.

Aby to zauważyć zatrzymajmy jeszcze poprawkę z rozwinięcia członu odśrodkowego

i rozważmy jej działanie na składową Fouriera np.

Dodatkowy potencjał odśrodkowy będzie równy wtedy:

Wywoła on przesunięcie minimum i obniżenie energii radialnego oscylatora harmonicznego o:

Zastępując z powrotem operatorem z-towej składowej momentu pędu, otrzymujemy:

Dodając tę poprawkę w równaniu Schrödingera, otrzymujemy równanie z ujemną i ułamkową masą elektronu –1/3

umożliwiającą gaussowską lokalizacje elektronu w maksimum, a nie w minimum potencjału w kierunku kątowym.

Paczka trojańska w modelu atomu dwupoziomowego

Ruch paczki trojańskiej – Gęstość prawdopodobieństwa elektronu w czasie dla paczki trojańskiej zlożonej ze stanu podstawowego i pierwszego stanu wzbudzonego atomu wodoru o głównej liczbie kwantowej i maksymalnym, zgodnym z polaryzacją pola momencie pędu,

Zjawisko paczki trojańskiej można wyjaśnić już w najbardziej znanym w optyce kwantowej przybliżeniu dwóch poziomów kwantowych. Widoczne zarzewie ruchu po orbicie kołowej jest wynikiem interferencji dwóch funkcji trygonometrycznych: sinus i cosinus będących czynnikiem stanu wzbudzonego. Jej dalsza lokalizacja względem wielkości orbity jest efektem małości odwrotności głównej liczby kwantowej atomu wodoru tzn. Równanie Schrödingera w bazie dwóch poziomów kwantowych, tzn. stanu podstawowego n=1 i pierwszego wzbudzonego przybiera prostą postać macierzową

gdzie:

z rozwiązaniami

Stałość elementów diagonalnych macierzy jest wynikiem dokładnego rezonansu z polem, tzn. Równanie to ma dwa rozwiązania z których stan o wyższej energii to paczka trojańska, a o niższej tzw. paczka antytrojańska. Energie w funkcji pola są liniami prostymi o przeciwnym współczynniku kierunkowym. W odróżnieniu od limitu dużych liczb kwantowych kształt stanu kwantowego nie zależy od wielkości pola, tzn. wodór w tych stanach ma stały rotujący moment dipolowy nawet dla pola znikającego podobnie jak w zwykłym statycznym efekcie Starka.

Ponieważ rozwiązanie to jest stacjonarne w układzie współrzędnych obracającym się, a funkcja falowa stanu wzbudzonego zawiera wykładnik kąta azymutalnego elektronu, wektory Blocha paczki trojańskiej i anty trojańskiej w układzie laboratoryjnym poruszają się z przesunięciem fazowym też po okręgu będącym równikiem sfery Blocha, tzn. dla paczki trojańskiej jego współrzędne są

a

dla paczki antytrojańskiej.

Planetoidy trojańskie

Paczka trojańska z punktu widzenia mechaniki klasycznej jest przeskalowaną wersją planetoid trojańskich, kiedy to pole fali elektromagnetycznej odpowiada Jowiszowi, proton wodoru Słońcu, a asteroidy gęstości prawdopodobieństwa elektronu. Z powodu braku krzywizny stałego pola elektrycznego w porównaniu z polem grawitacyjnym dwie grupy asteroid redukują się do jednej paczki.

Paczka trojańska i stany Landaua

Warto zauważyć że podobne paczki falowe można uzyskać w dwóch wymiarach przestrzennych już w samym jednorodnym polu magnetycznym poprzez rozpędzenie tzw. stanu Landaua, stanu własnego elektronu odpowiadającego za kwantowy efekt Halla tak, aby poruszał się on po cyklotronowym okręgu. Najniższy stan Landaua jako stan własny oscylatora harmonicznego o częstości cyklotronowej odpowiada symetrycznemu, zlokalizowanemu stanowi Gaussa.

Ściśle równanie Schrödingera z Hamiltonianem Landaua elektronu w polu magnetycznym

może być zinterpretowane jako równanie dla oscylatora harmonicznego o częstości i w układzie obracającym się z częstością z powodu członu z Stany koherentne tego oscylatora które są przesuniętym stanem podstawowym i które mogą poruszać się też po okręgu z częstością oscylatora są nierozpływającymi się paczkami falowymi w układzie stacjonarnym poruszającymi się z częstością cyklotronową

Rozpędzony „trojański” stan Landaua. Podobnie jak paczka trojańska stan ten porusza się po orbicie kołowej o promieniu cyklotronowym z częstością cyklotronową i może być dowolnie wąsko zlokalizowany względem promienia orbity proporcjonalnie do natężenia pola magnetycznego. W odróżnieniu od paczki trojańskiej stan ten istnieje tylko w dwóch wymiarach przestrzennych, nie wymaga pola fali spolaryzowanej kołowo oraz jest symetryczny wokoło środka lokalizacji.

Dodanie potencjału kulombowskiego atomu wodoru w środku okręgu spowoduje wtedy dodatkową lokalizację w trzecim wymiarze w kierunku osi a dodanie pola fali spolaryzowanej kołowo zmieni jeszcze bardziej promień orbity i częstość obiegu. Zgodnie z twierdzeniem Ehrenfesta centrum takiego „Gausonu” będzie poruszać się po orbicie klasycznej po okręgu pod działaniem siły Lorentza, siły Coulomba i siły od rotującego pola. Paczka trojańska odpowiada wtedy granicy znikającego do zera stałego pola magnetycznego prostopadłego do płaszczyzny ruchu.

Paczka trojańska i kwantowy efekt Halla

Paczka trojańska umożliwia obserwacje efektu analogicznego do kwantowego efekt Halla, płynnie zmieniając częstość pola spolaryzowanego kołowo zamiast pola magnetycznego. Ruch pojedynczego elektronu po okręgu można interpretować jako prąd Halla podczas kiedy napięcie pomiędzy jądrem wodoru a elektronem jako wyindukowane napięcie Halla ponieważ jest ono prostopadłe do tego prądu. I rzeczywiście definiując

otrzymamy w punktach dokładnego rezonansu

kwantowanie oporu przy pomocy oporu podstawowego

gdzie zdefiniowaliśmy bezwymiarowe pole elektryczne jako współczynnik proporcjonalności do pola w odległości promienia Bohra:

W odróżnieniu od normalnego kwantowego efektu Halla opór podstawowy jest dowolnie strojony polem.

Alternatywnie napięcie Halla można zdefiniować względem potencjału Coulomba, a nie pola zewnętrznego jako różnice potencjałów Coulomba pochodzących od jądra na orbicie paczki Trojańskiej i w nieskończoności, tzn.

Wtedy w punktach dokładnego rezonansu otrzymujemy kwantowanie oporu bez żadnych stałych proporcjonalności podobnie jak w oryginalnym eksperymencie Klausa von Klitzinga jedynie z tą różnicą że jest on proporcjonalny, a nie odwrotnie proporcjonalny do tzn.

Jest to także kwantowanie tego oporu zdefiniowanego tak samo dla oryginalnego modelu atomu Bohra, tzn. gdyby elektron klasyczny definiujący prąd jednoelektronowy poruszał się po skwantowanych orbitach kołowych pod prostopadłym do niego napięciem jądrowym względem nieskończoności kompensującym siłę odśrodkowa, tzn. tu mechaniczną siłę Lorentza. Stała von Klitzinga jest więc wartością tak zdefiniowanego oporu dla pierwszej orbity Bohra.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Zobacz też

Media użyte na tej stronie

Landau packet.gif
Autor: Mattcomm, Licencja: CC BY-SA 3.0
Time evolution of Landau-Trojan wave packet in the magnetic field
Trojan wavepacket hue.gif
Autor: Mattcomm, Licencja: CC BY-SA 3.0
Trojan wave packet time evolution animation as 3D color plot
Z80Trojan.gif
Autor: Mattcomm, Licencja: CC BY-SA 4.0
The animated GIF movie is showing the Sinclair Basic code and the classical mechanics simulation of the Trojan Wave Packet using the UK Sinclair Research Ltd. ZX Spectrum 1982 microcomputer. The quantum wave function is approximated by the ensemble of walkers which move according to the Hamilton (Newton) equations of the motion. The other simulation follows when the CP field is turned off to demonstrate the trapping effect.
2leveltrojans1.gif
Autor: Mattcomm, Licencja: CC BY-SA 3.0
Trojan wave packet evolution animation for two-level model