Paradoks Berry’ego

Ten artykuł należy dopracować:
od 2013-02 → zweryfikować treść i dodać przypisy,
→ poprawić styl – powinien być encyklopedyczny,
dodać oryginalny cytat.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Paradoks Berry’ego dotyczy liczb naturalnych. Jego autorem jest Bertrand Russell[1]. Nazwa pochodzi od nazwiska bibliotekarza Uniwersytetu w Oxfordzie, którego pomysł zainspirował Russella.

Rozważmy liczbę (nazwijmy ją p):

Najmniejsza liczba naturalna, której nie można jednoznacznie określić wyrażeniem o mniej niż czterdziestu sylabach.

Wydaje się sensownym przyjęcie, że powyższe wyrażenie określa jednoznacznie konkretną liczbę p. Zbiór zdań o mniej niż czterdziestu sylabach jest zbiorem skończonym i w dodatku tylko pewien podzbiór tych zdań określa konkretne liczby naturalne. W związku z tym, że zbiór liczb naturalnych jest nieskończony, musi istnieć najmniejsza liczba naturalna, której nie opisuje żadne zdanie z tego zbioru.

Definicja liczby p ma jednak mniej niż 40 sylab, a przecież przyjęliśmy, że nie można jej określić używając wyrażenia o mniej niż 40 sylabach.

Dochodzimy więc do oczywistej sprzeczności, która wskazuje na to, że nie zawsze można używać zwrotu „jednoznacznie określić” w języku matematyki. Należy odróżnić badany język od metajęzyka, w którym dokonuje się badań. Na podobnym błędzie w rozumowaniu opiera się paradoks kłamcy.

Paradoks ten ma jeszcze inne, bardziej żartobliwe sformułowanie, tzw. paradoks nieciekawej liczby: można udowodnić, że wszystkie liczby naturalne są ciekawe. Istotnie, jeśli istnieją nieciekawe liczby naturalne, to istnieje również najmniejsza z nich. Liczba ta jednak jest ciekawa, chociażby przez to, że jest najmniejszą nieciekawą liczbą naturalną.

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ Nicholas Griffin: The Cambridge Companion to Bertrand Russell. Cambridge University Press, s. 63. ISBN 978-0-521-63634-6. (ang.)