Parametr skali

Parametr skali – parametr rozkładów prawdopodobieństwa, którego zwiększenie ${\displaystyle k}$ razy powoduje następujące przekształcenie:

• punkty na osi odciętych wykresów dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa danego rozkładu zwiększają odległość od punktu ${\displaystyle (\mu ,0)}$ ${\displaystyle k}$ razy,
• dla funkcji rozkładu prawdopodobieństwa oś rzędnych kurczy się ${\displaystyle k}$ razy względem środka układu współrzędnych. Jest to konieczne, aby całka z funkcji prawdopodobieństwa rozkładu była nadal równa jeden.

Definicja formalna

Jeśli w rodzinie jednowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa dystrybuanta parametryzowana jest przez dodatnią liczbę rzeczywistą ${\displaystyle s}$ (obok ewentualnych innych parametrów) i zachodzi:

${\displaystyle F_{s,p_{1},\dots ,p_{n}}(x)=F_{1,p_{1},\dots ,p_{n}}\left({\frac {x-\mu }{s}}+\mu \right),}$

gdzie:

${\displaystyle F_{s,p_{1},\dots ,p_{n}}}$ – dystrybuanta parametryzowana przez ${\displaystyle s,p_{1},\dots ,p_{n},}$

${\displaystyle \mu }$ – parametr położenia, pewna funkcja parametrów ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$ (zazwyczaj równa wartości oczekiwanej),

${\displaystyle x}$ – liczba rzeczywista,

to ${\displaystyle s}$ jest nazywane parametrem skali.

Analogicznie można zdefiniować parametr skali dla rozkładów ${\displaystyle N}$-wymiarowych – jest on wówczas ${\displaystyle N}$-elementowym wektorem. W szerszym znaczeniu parametrem skali można nazwać także dowolną liczbę, z której da się obliczyć parametr ${\displaystyle s}$ zdefiniowany tak jak powyżej.

W niektórych przypadkach (np. rozkład normalny, rozkład Cauchy’ego) rozkład z parametrem położenia 0 i parametrem skali 1 nazywany jest „standardowym”.

Przykłady

• Dla rozkładu normalnego parametrem skali jest odchylenie standardowe, a wartością ${\displaystyle \mu }$ wartość oczekiwana. Czasem jednak zamiast odchylenia używa się jego kwadratu (wariancji), również nazywając ją parametrem skali (co jest uzasadnione, gdyż odchylenie standardowe da się z niej obliczyć).
• Rozkład gamma ma parametr skali ${\displaystyle \theta ,}$ choć czasem używa się jego odwrotności.

Zobacz też

• parametr kształtu
• parametr położenia