Pierścień (matematyka)

Pierścieństruktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

W literaturze spotyka się rozmaite definicje pierścieni różniące się stopniem uogólnienia. W artykule tym za najogólniejszą przyjmowana jest definicja tzw. pierścienia łącznego. Wnioskom płynącym z zawężenia definicji poprzez wymaganie elementu neutralnego mnożenia bądź warunku przemienności mnożenia również poświęcono osobne artykuły: pierścień z jedynką, pierścień przemienny.

Definicja

Niech będzie algebrą, w której jest pewnym niepustym zbiorem, symbole oznaczają dwa działania dwuargumentowe określone w tym zbiorze, a jest pewnym wyróżnionym elementem. Algebra ta nazwana jest pierścieniem (łącznym), jeśli[1]:

  • struktura jest grupą abelową, nazywaną grupą addytywną, z działaniem nazywanym dodawaniem i elementem neutralnym nazywanym zerem:
  • struktura jest półgrupą z działaniem nazywanym mnożeniem:
  • oba działania powiązane są ze sobą prawami rozdzielności:

Ponieważ jest grupą, to pierścień ma dokładnie jedno zero, a element odwrotny do względem dodawania (element z trzeciego aksjomatu), nazywany w tym kontekście elementem przeciwnym, jest wyznaczony jednoznacznie i oznaczany

Warianty

Na działanie mnożenia nakłada się często dodatkowe warunki regularności, precyzując nazwę nowej struktury:

  • pierścień z jedynką – istnienie elementu neutralnego mnożenia nazywanego jedynką[a]:
  • pierścień przemienny – przemienność mnożenia (wówczas prawa rozdzielności stają się sobie równoważne):
Uwaga
W pierścieniu z jedynką struktura jest monoidem (przemiennym, jeśli pierścień jest przemienny), wynika stąd, że pierścień może mieć co najwyżej jedną jedynkę.

W praktyce najczęściej rozpatruje się (niezerowe) pierścienie z jedynką; ich atutem jest, gdy są one dodatkowo przemienne.

Rodzaje

Podstawowa definicja pierścienia, bywa rozwijana w wielu różnych kierunkach:

  • pierścień bez dzielników zera – brak właściwych dzielników zera (zob. dalej):
  • pierścień z dzieleniem – dowolny niezerowy element ma element odwrotny (zakłada się, że pierścień ma jedynkę):

Element odwrotny do (względem mnożenia; w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami lub Zbiór elementów odwracalnych pierścienia tworzy grupę ze względu na mnożenie (z jedynką jako elementem neutralnym; przemienną, jeśli pierścień jest przemienny) nazywaną także grupą multiplikatywną. W pierścieniu z dzieleniem jest

Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się dziedziną. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zera[b], to każdy pierścień z dzieleniem jest pierścieniem bez dzielników zera, a więc dziedziną. Dziedziny przemienne określa się nazwą dziedzina całkowitości (także: pierścień całkowity; niekiedy nie wyróżnia się nieprzemiennych dziedzin całkowitości, wówczas często skraca się nazwę tej struktury do: dziedzina). Pierścień przemienny z dzieleniem (lub z powyższej obserwacji: dziedzinę całkowitości z dzieleniem) nazywa się ciałem.

Przykłady

Do najprostszych uniwersalnych przykładów należą:

Innymi ważnymi przykładami pierścieni są:

Osobnym przykładem są pierścienie wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z pierścienia W zachowywane są następujące własności pierścienia przemienność, istnienie jedynki, brak dzielników zera, całkowitość (tzn. bycie dziedziną całkowitości), jednoznaczność rozkładu (twierdzenie Gaussa), noetherowskość (twierdzenie Hilberta o bazie). Jeżeli jest ciałem, to jest pierścieniem euklidesowym.

Dobrze znane struktury liczb wymiernych, liczb rzeczywistych, czy liczb zespolonych z działaniami arytmetycznymi są przykładami pierścieni, jako że wszystkie są ciałami. Z kolei liczby naturalne (z działaniami arytmetycznymi) nie tworzą pierścienia, ponieważ wraz z działaniem dodawania nie tworzą nawet grupy; oktoniony również nie są pierścieniem, ponieważ mnożenie w nich określone nie jest łączne, lecz tylko alternatywne.

Składowe

Podpierścienie

Podzbiór pierścienia nazywa się podpierścieniem, jeżeli sam tworzy pierścień z działaniami odziedziczonymi z Równoważnie:

Pierwszy warunek oznacza, że musi być grupą (przemienną), drugi gwarantuje, że wynik mnożenia elementów z będzie zawierał się w tym samym zbiorze (tzn. mnożenie jest tam poprawnie określonym działaniem wewnętrznym).

Ideały

Podgrupę grupy addytywnej pierścienia nazywa się ideałem lewostronnym, jeżeli dla dowolnych dwóch elementów oraz spełniony jest warunek

Jeżeli spełnia w zamian warunek

to nazywa się ją ideałem prawostronnym. Ideał będący zarazem lewo- jak i prawostronny nazywa się krótko ideałem; pojęcia te pokrywają się w pierścieniach przemiennych. Każdy ideał jest podpierścieniem.

W dowolnym nietrywialnym pierścieniu istnieją co najmniej dwa różne ideały: cały pierścień i podpierścień trywialny nazywa się je ideałami trywialnymi lub niewłaściwymi, wszystkie pozostałe nazywa się ideałami właściwymi.

Ze względu na inne własności wyróżnia się m.in. następujące rodzaje ideałów pierścienia

  • ideał główny – generowany przez jeden element pierścienia,
  • ideał maksymalny – zawarty wyłącznie w ideale niewłaściwym
  • ideał pierwszy – taki, że jeśli dany element ideału jest iloczynem dwóch innych, to przynajmniej jeden z nich również należy do ideału.

Elementy wyróżnione

Element pierścienia nazywa się

  • dzielnikiem zera, gdy istnieje taki niezerowy element że
  • idempotentnym, gdy
  • nilpotentnym, gdy istnieje dla którego

W pierścieniu skończonym (mającym skończenie wiele elementów) każdy element jest odwracalny albo jest dzielnikiem zera.

Homomorfizmy

Przekształcenie między dwoma pierścieniami zachowujące ich działania, tzn. dla dowolnych elementów spełnione są warunki:

nazywa się homomorfizmem pierścieni. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm półgrup multiplikatywnych tych pierścieni.

Przekształcenie między dwoma pierścieniami z jedynką zachowujące ich działania i jedynkę, tzn. dla dowolnych elementów spełnione są warunki:

nazywa się homomorfizmem pierścieni z jedynką. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm monoidów multiplikatywnych.

Pierścień ilorazowy

W dowolnym pierścieniu grupa ilorazowa gdzie jest dowolnym ideałem (dwustronnym), jest pierścieniem z dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia na warstwach:

Pierścień ten nazywa się pierścieniem ilorazowym pierścienia przez ideał i również oznacza się symbolem

Dodawanie jest dobrze określone z definicji grupy ilorazowej. Wystarczy więc dowieść, że iloczyn warstw nie zależy od wyboru reprezentanta mnożonych warstw. Niech dane będą dwie warstwy, każda z nich reprezentowana przez dwa różne elementy: oraz Równość

dowodzi, że zmiana reprezentantów nie wpływa na wynik mnożenia, gdyż otrzymuje się tę samą, choć reprezentowaną przez inny element, warstwę.

Uogólnienia i przypadki szczególne

Wyróżnia się wiele rodzajów pierścieni, na które nakłada się dodatkowe warunki:

  • pierścień ideałów głównych – pierścień, w którym każdy ideał jest główny (także: każdy ideał ma jeden generator),
  • pierścień noetherowski – pierścień, w którym każdy ciąg wstępujący (w sensie zawierania) ideałów stabilizuje się (także: każdy ideał jest skończenie generowany),
  • pierścień artinowski – pierścień, w którym każdy ciąg zstępujący (w sensie zawierania) ideałów stabilizuje się,
  • pierścień z jednoznacznością rozkładu – pierścień przemienny, w którym każdy element można rozłożyć w sposób jednoznaczny na elementy nierozkładalne,
  • pierścień lokalny – pierścień mający tylko jeden ideał maksymalny,
  • pierścień Euklidesa – pierścień umożliwiający stosowanie algorytmu Euklidesa (znajdowanie NWD),
  • pierścień zredukowany – pierścień bez niezerowych elementów nilpotentnych,
  • pierścień Boole’a – pierścień przemienny z jedynką, w którym każdy element jest idempotentny,
  • pierścień Dedekinda – dziedzina całkowitości, w której każdy niezerowy właściwy ideał rozkłada się na iloczyn ideałów pierwszych.
  • pierścień skończenie generowany – pierścień, dla którego istnieje skończony zbiór generatorów (taki, że najmniejszym podpierścieniem go zawierającym jest cały pierścień). Przykładem takiego pierścienia są liczby całkowite (generowane przez jedynkę). Przykładem pierścienia, który nie jest skończenie generowany są liczby wymierne (bo dla dowolnego skończonego zbioru liczb wymiernych istnieje liczba pierwsza nie dzieląca mianownika żadnej z nich).

Zobacz też

Uwagi

  1. Niekiedy wymaga się, aby był on różny od elementu neutralnego dodawania, wykluczając przy tym przypadek pierścienia zerowego, przybliżając definicję pierścienia do określenia ciała.
  2. Z aksjomatu istnienia elementu odwrotnego wynika, że dla każdego istnieje element odwrotny Gdyby pierścień miał dzielniki zera, to istniałyby takie że Lewostronne mnożenie stronami przez daje z istnienia elementu neutralnego mnożenia otrzymuje się sprzeczność z założeniem

Przypisy

  1. Pierścień, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-21].

Bibliografia