Pierścień ideałów głównych
Pierścień ideałów głównych (także pierścień główny[1]) – pierścień komutatywny, którego każdy ideał jest ideałem głównym[1][2][3]. Jeżeli tylko skończenie generowane ideały są główne, to pierścień nazywa się pierścieniem Bézouta (por. dziedzina Bézouta).
Własności
- Każdy pierścień główny jest pierścieniem noetherowskim, ponieważ każdy jego ideał jest generowany przez zbiór jednoelementowy, a zatem skończony.
- Każdy pierścień główny jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.
- Każde dwa elementy pierścienia ideałów głównych mają największy wspólny dzielnik który daje się zapisać w postaci dla pewnych
- W pierścieniu ideałów głównych element jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element, jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest ciałem.
- W pierścieniu ideałów głównych każdy ideał pierwszy jest maksymalny.
Przykłady
Pierścieniami głównymi są:
- dziedzina ideałów głównych,
- pierścień Euklidesa,
- pierścień liczb całkowitych,
- pierścień wielomianów o współczynnikach w dowolnym ciele,
- ciało,
Przypisy
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 299.
- ↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, ISBN 83-01-14388-6; s. 173, definicja 126.
- ↑ Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 186, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330.
Bibliografia
- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.