Pierścień liczb całkowitych

Pierścień liczb całkowitych – zbiór liczb całkowitych tworzących strukturę algebraiczną ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ z operacjami dodawania, brania liczby przeciwnej i mnożenia. Stanowią one pierścień przemienny, którego są prawzorem poprzez fakt spełniania tylko tych równań, które zachodzą dla wszystkich pierścieni przemiennych z jedynką; istotnie, jest to początkowy pierścień przemienny, a nawet pierścień początkowy.

Algebraiczna teoria liczb

Ogólniej, pierścieniem liczb całkowitych ciała liczbowego ${\displaystyle K,}$ oznaczanego często symbolami ${\displaystyle \operatorname {O} _{K}}$ lub ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K},}$ nazywa się pierścień liczb algebraicznych całkowitych zawartych w ${\displaystyle K.}$

Korzystając z tej notacji można napisać, iż ${\displaystyle \mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} },}$ ponieważ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ jak podano wyżej, jest pierścieniem liczb całkowitych ciała ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ liczb wymiernych. Z tego względu w algebraicznej teorii liczb elementy ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ nazywa się często „wymiernymi liczbami całkowitymi”.

Alternatywny termin to rząd maksymalny, gdyż pierścień liczb całkowitych ciała liczbowego jest w istocie jednoznacznie wyznaczonym rzędem w ciele.

Pierścień liczb całkowitych ${\displaystyle \operatorname {O} _{K}}$ jest ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-modułem; nie do końca oczywistym jest fakt, iż jest to moduł wolny, a więc ma bazę całkowitoliczbową; oznacza to, że istnieje ciąg ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}\in \operatorname {O} _{K}}$ (baza całkowita liczbowa) taki, że każdy element ${\displaystyle x}$ należący do ${\displaystyle \operatorname {O} _{K}}$ może być jednoznacznie przedstawiony jako

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}$

gdzie ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} .}$ Ranga ${\displaystyle n}$ pierścienia ${\displaystyle \operatorname {O} _{K}}$ jako wolnego ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-modułu jest równa stopniowi ${\displaystyle K}$ nad ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ Pierścienie liczb całkowitych w ciałach liczbowych są pierścieniami Dedekinda.

Przykłady

Jeśli ${\displaystyle \zeta }$ jest ${\displaystyle p}$-tym pierwiastkiem z jedynki zaś ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta )}$ odpowiadającym mu ciałem cyklotomicznym, to baza całkowitoliczbowa ${\displaystyle \operatorname {O} _{K}=\mathbb {Z} [\zeta ]}$ dana jest jako ${\displaystyle \left(1,\zeta ,\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{p-2}\right).}$

Jeżeli ${\displaystyle d}$ jest bezkwadratową liczbą całkowitą, zaś ${\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}$ jest odpowiadającym ciałem kwadratowym, to baza całkowitoliczbowa ${\displaystyle \operatorname {O} _{K}}$ dana jest jako ${\displaystyle \left(1,{\tfrac {1+{\sqrt {d}}}{2}}\right),}$ o ile ${\displaystyle d\equiv 1\;{\bmod {\;}}4}$ oraz ${\displaystyle \left(1,{\sqrt {d}}\right),}$ jeśli ${\displaystyle d\equiv 2,\,3\;{\bmod {\;}}4}$ (zob. arytmetyka modularna).

Pierścień p-adycznych liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ to pierścień liczb całkowitych liczb p-adycznych ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$

Zobacz też

• liczby całkowite kwadratowe.

Bibliografia

• Jürgen Neukirch: Algebraic Number Theory. T. 322. Berlin: Springer-Verlag, 1999, seria: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. MR1697859. ISBN 978-3-540-65399-8.