Pierścień noetherowski

Pierścień noetherowski – pierścień, w którym każdy ciąg wstępujący (w sensie inkluzji) jego ideałów ${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \dots }$ stabilizuje się, tzn. istnieje ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ dla którego ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\dots ;}$ mówi się też wtedy, że w pierścień spełnia warunek rosnących łańcuchów (ACC) dla ideałów; pojęcie nosi nazwisko Emmy Noether.

Równoważnie pierścień ${\displaystyle R}$ jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ideał właściwy jest skończenie generowany, tzn. dla każdego ideału ${\displaystyle I\triangleleft R}$ istnieją takie elementy ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}\in R,}$ dla których

${\displaystyle I=\{a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}:x_{1},x_{2},\ldots x_{k}\in R\}.}$

Można też powiedzieć, że pierścień ${\displaystyle R}$ jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ideał tego pierścienia można przedstawić w postaci skończonej sumy ideałów głównych pierścienia ${\displaystyle R.}$

Prawdziwe jest również twierdzenie Hilberta o bazie: jeżeli pierścień ${\displaystyle R}$ jest noetherowski, to jego pierścień wielomianów ${\displaystyle R[X]}$ również jest noetherowski.

Przykłady

• Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim.
• Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem noetherowskim (co więcej: każdy ideał tego pierścienia jest ideałem głównym).

Zobacz też

• pierścień artinowski