Pierścień topologiczny

Pierścień topologiczny – pierścień ${\displaystyle R}$ w którym określona jest topologia o tej własności, że

dodawanie ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$ jest ciągłe jako funkcja ${\displaystyle R\times R\to R,}$

mnożenie ${\displaystyle (x,y)\mapsto x\cdot y}$ jest ciągłe jako funkcja ${\displaystyle R\times R\to R,}$

działanie ${\displaystyle x\mapsto -x}$ jest ciągłe jako funkcja ${\displaystyle R\to R.}$

Z definicji pierścienia topologicznego wynika, że grupa addytywna pierścienia ${\displaystyle (R,+)}$ jest grupą topologiczną. Jeżeli pierścień topologiczny jest ciałem oraz

działanie ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ jest ciągłe jako funkcja ${\displaystyle R^{\times }\to R^{\times },}$

gdzie ${\displaystyle R^{\times }=R\setminus \{0\}}$ jest zbiorem elementów odwracalnych, to używa się w odniesieniu do niego nazwy ciało topologiczne.

Przykłady

Naturalnymi przykładami pierścieni topologicznych są pierścienie (ciała) liczb rzeczywistych, zespolonych czy p-adycznych (z topologiami wprowadzonymi przez ich naturalne metryki). Pierścienie topologiczne pojawiają się w naturalny sposób w analizie. Do klasycznych przykładów można zaliczyć:

• pierścień wszystkich rzeczywistych (bądź zespolonych) funkcji ograniczonych określonych na pewnym zbiorze ${\displaystyle X}$ (z działaniami określonymi punktowo),
• pierścień ${\displaystyle C_{0}(X)}$ wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych znikających w nieskończoności, określonych na przestrzeni lokalnie zwartej ${\displaystyle X}$ z topologią zbieżności niemal jednostajnej,
• pierścień wszystkich funkcji analitycznych określonych na pewnym obszarze płaszczyzny zespolonej z topologią zbieżności niemal jednostajnej.

W szczególności, każda algebra topologiczna (a więc każda algebra Banacha) jest pierścieniem topologicznym.

Własności

• Produkt dowolnej rodziny pierścieni topologicznych jest pierścieniem topologicznym (z topologią Tichonowa). Ogólniej: Niech ${\displaystyle \{R_{i}\colon i\in I\}}$ będzie rodziną pierścieni topologicznych oraz niech ${\displaystyle R}$ będzie dowolnym pierścieniem. Jeżeli ${\displaystyle \{f_{i}\colon i\in I\}}$ jest taką rodziną funkcji, że dla każdego ${\displaystyle i}$ funkcja ${\displaystyle f_{i}}$ jest homomorfizmem ${\displaystyle R_{i}\to R,}$ to pierścień ${\displaystyle R}$ wyposażony w topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń ${\displaystyle \{f_{i}\colon i\in I\}}$ jest pierścieniem topologicznym.
• Składowa spójności ${\displaystyle C}$ zera pierścienia topologicznego ${\displaystyle R}$ jest domkniętym ideałem w ${\displaystyle R}$ oraz zbiór ${\displaystyle x+C}$ jest składową spójności elementu ${\displaystyle x}$ tego pierścienia. Wynika z powyższego, że topologia pierścienia topologicznego, który nie ma właściwych domkniętych ideałów jest albo Hausdorffa i spójna albo Hausdorffa i totalnie niespójna albo antydyskretna. W szczególności, własność tę mają topologie pierścieni topologicznych z dzieleniem.
• W lokalnie zwartym i totalnie niespójnym pierścieniu topologicznym wszystkie zwarte i otwarte podpierścienie tworzą układ fundamentalny otoczeń zera.

Bibliografia

• Seth Warner: Topological Rings. North-Holland Mathematics Studies, 1993. ISBN 0-444-89446-2.