Pierścień topologiczny

Pierścień topologicznypierścień w którym określona jest topologia o tej własności, że

dodawanie jest ciągłe jako funkcja
mnożenie jest ciągłe jako funkcja
działanie jest ciągłe jako funkcja

Z definicji pierścienia topologicznego wynika, że grupa addytywna pierścienia jest grupą topologiczną. Jeżeli pierścień topologiczny jest ciałem oraz

działanie jest ciągłe jako funkcja

gdzie jest zbiorem elementów odwracalnych, to używa się w odniesieniu do niego nazwy ciało topologiczne.

Przykłady

Naturalnymi przykładami pierścieni topologicznych są pierścienie (ciała) liczb rzeczywistych, zespolonych czy p-adycznych (z topologiami wprowadzonymi przez ich naturalne metryki). Pierścienie topologiczne pojawiają się w naturalny sposób w analizie. Do klasycznych przykładów można zaliczyć:

  • pierścień wszystkich rzeczywistych (bądź zespolonych) funkcji ograniczonych określonych na pewnym zbiorze (z działaniami określonymi punktowo),
  • pierścień wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych znikających w nieskończoności, określonych na przestrzeni lokalnie zwartej z topologią zbieżności niemal jednostajnej,
  • pierścień wszystkich funkcji analitycznych określonych na pewnym obszarze płaszczyzny zespolonej z topologią zbieżności niemal jednostajnej.

W szczególności, każda algebra topologiczna (a więc każda algebra Banacha) jest pierścieniem topologicznym.

Własności

  • Produkt dowolnej rodziny pierścieni topologicznych jest pierścieniem topologicznym (z topologią Tichonowa). Ogólniej: Niech będzie rodziną pierścieni topologicznych oraz niech będzie dowolnym pierścieniem. Jeżeli jest taką rodziną funkcji, że dla każdego funkcja jest homomorfizmem to pierścień wyposażony w topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń jest pierścieniem topologicznym.
  • Składowa spójności zera pierścienia topologicznego jest domkniętym ideałem w oraz zbiór jest składową spójności elementu tego pierścienia. Wynika z powyższego, że topologia pierścienia topologicznego, który nie ma właściwych domkniętych ideałów jest albo Hausdorffa i spójna albo Hausdorffa i totalnie niespójna albo antydyskretna. W szczególności, własność tę mają topologie pierścieni topologicznych z dzieleniem.
  • W lokalnie zwartym i totalnie niespójnym pierścieniu topologicznym wszystkie zwarte i otwarte podpierścienie tworzą układ fundamentalny otoczeń zera.

Bibliografia

  • Seth Warner: Topological Rings. North-Holland Mathematics Studies, 1993. ISBN 0-444-89446-2.