Pierścień trywialny

Pierścień trywialny – pierścień określony na jednoelementowym zbiorze.

Definicja

Pierścień ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ nazywamy trywialnym, gdy jest on określony na jednoelementowym zbiorze ${\displaystyle R=\{r\}.}$

Wówczas z definicji pierścienia działania w tym pierścieniu są określone następująco:

${\displaystyle r+r=r,}$

${\displaystyle r\cdot r=r.}$

Własności

• Pierścień trywialny jest jedynym pierścieniem, w którym elementy neutralne dodawania i mnożenia są sobie równe: ${\displaystyle r=0=1.}$ Co więcej pierścień ${\displaystyle R}$ jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy elementy neutralne obu działań tego pierścieni są sobie równe. Mamy: ${\displaystyle \forall _{r\in R}\;r=r\cdot 1=r\cdot 0=0.}$
• Pierścienie trywialne są przemienne.
• Pierścienie trywialne są jedynymi skończonymi pierścieniami uporządkowanymi.

Zobacz też

• pierścień zerowy
• teoria pierścieni