Pierścień uporządkowany

Pierścieniem uporządkowanym – pierścień przemienny ${\displaystyle R}$ z określonym porządkiem liniowym ${\displaystyle \leq }$ spełniającym dla dowolnych ${\displaystyle a,b,c\in R}$ warunki

• ${\displaystyle a\leqslant b\implies a+c\leqslant b+c,}$
• ${\displaystyle (0\leqslant a\land 0\leqslant b)\implies 0\leqslant ab.}$

Niezerowy element ${\displaystyle a\in R}$ nazywany jest dodatnim (odpowiednio, ujemnym), gdy ${\displaystyle 0\leqslant a\ (a\leqslant 0).}$ Wartością bezwzględną elementu ${\displaystyle a\in R}$ nazywany jest element

${\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{gdy }}0\leqslant a,\\-a,&{\mbox{w przeciwnym wypadku}},\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle -a}$ oznacza element odwrotny do elementu ${\displaystyle a}$ względem dodawania.

Przykłady

Pierścieniami uporządkowanymi są: pierścień liczb całkowitych ze zwykłym porządkiem, pierścień liczb wymiernych i pierścień liczb rzeczywistych ze zwykłymi porządkami (dwa ostatnie przykłady są nawet ciałami uporządkowanymi).

Pierścienia uporządkowanego nie tworzą natomiast liczby zespolone.

Własności

W poniższych twierdzeniach przyjmujemy, że ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem uporządkowanym.

• Dla dowolnych ${\displaystyle a,b,c\in R}$ zachodzi:

${\displaystyle (a\leqslant b\land 0\leqslant c)\implies a\cdot c\leqslant b\cdot c.}$

• Dla dowolnych ${\displaystyle a,b\in R}$ spełniony jest warunek

${\displaystyle |a\cdot b|=|a|\cdot |b|.}$

• Nietrywialny pierścień uporządkowany (czyli taki, który ma więcej niż jeden element) ma nieskończenie wiele elementów.
• Jeśli ${\displaystyle a\in R,}$ to albo ${\displaystyle 0<a,}$ albo ${\displaystyle 0<-a,}$ albo ${\displaystyle a}$ (gdzie przez ${\displaystyle x<y}$ rozumie się relację ${\displaystyle x\leqslant y}$ i ${\displaystyle x\neq y}$).
• Pierścień uporządkowany ${\displaystyle R}$ nie posiada dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów dodatnich ${\displaystyle a,b\in R,}$ dodatni jest również ich iloczyn ${\displaystyle a\cdot b.}$
• W pierścieniu uporządkowanym żaden element ujemny nie jest kwadratem innego elementu.

Zobacz też

• ciało uporządkowane
• grupa uporządkowana