Pierwiastek z jedynki
Pierwiastek z jedynki -tego stopnia w ciele K – element spełniający równość[1]:
gdzie jest dowolną liczbą naturalną większą od 0. Ciałem może być w szczególności ciało [2].
Grupa pierwiastków
Zbiór wszystkich pierwiastków jedynki stopnia tworzy grupę ze względu na mnożenie.
Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt Generatorami tej grupy są te pierwiastki dla których czyli liczby i są względnie pierwsze. Nazywa się je pierwiastkami pierwotnymi stopnia n z jedynki. Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia z jedynki jest równa gdzie jest funkcją Eulera.
Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych
W tym ciele pierwiastki z jedynki nazywane są także liczbami de Moivre’a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre’a.
Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki -tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie Realizują one podział tego okręgu na równych części.
Przykłady
- Istnieje tylko jeden pierwiastek z jedynki pierwszego stopnia – równy
- Pierwiastkami kwadratowymi jedynki są oraz
- Pierwiastki sześcienne z jedynki to
- Pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są elementy zbioru
Własności
Istnieje dokładnie różnych pierwiastków stopnia z jedynki:
- gdzie
Dla wszystkie pierwiastki z jedynki -tego stopnia sumują się do
Przypadek powyższej tożsamości jest znana szerzej pod nazwą tożsamości Eulera.
Grupy pierwiastków z jedności n-tego stopnia wyczerpują skończone podgrupy grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy
gdzie jest ustaloną liczbą pierwszą.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Browkin 1977 ↓, s. 86.
- ↑ van der Waerden 1967 ↓, s. 153.
Bibliografia
- Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, s. 86–88.
- Bartel Leendert van der Waerden: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros., Москва 1976, s. 153–158.
Literatura dodatkowa
- Bagiński Cz.: Wstęp do teorii grup. Warszawa: SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
Media użyte na tej stronie
Autor:
Loadmaster (David R. Tribble)
![]() |
This image was made by Loadmaster (David R. Tribble).
Email the author: Also see my personal gallery at Google Photos |
Fifth roots of 1 in the complex plane.