Pierwiastek z jedynki

Pierwiastek z jedynki ${\displaystyle n}$-tego stopnia w ciele K – element ${\displaystyle a\in K}$ spełniający równość^[1]:

${\displaystyle a^{n}=1.}$

gdzie ${\displaystyle n}$ jest dowolną liczbą naturalną większą od 0. Ciałem ${\displaystyle K}$ może być w szczególności ciało ${\displaystyle \mathbb {C} }$^[2].

Grupa pierwiastków

Zbiór wszystkich pierwiastków jedynki stopnia ${\displaystyle n}$ tworzy grupę ze względu na mnożenie.

Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu ${\displaystyle n,}$ zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.}$ Generatorami tej grupy są te pierwiastki ${\displaystyle \varepsilon _{n}^{(k)}}$ dla których ${\displaystyle {\mbox{NWD}}(n,k)=1,}$ czyli liczby ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle k}$ są względnie pierwsze. Nazywa się je pierwiastkami pierwotnymi stopnia n z jedynki. Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia ${\displaystyle n}$ z jedynki jest równa ${\displaystyle \varphi (n),}$ gdzie ${\displaystyle \varphi }$ jest funkcją Eulera.

Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych

W tym ciele pierwiastki z jedynki nazywane są także liczbami de Moivre’a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre’a.

Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki ${\displaystyle n}$-tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o ${\displaystyle n}$ bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie ${\displaystyle 1.}$ Realizują one podział tego okręgu na ${\displaystyle n}$ równych części.

Przykłady

• Istnieje tylko jeden pierwiastek z jedynki pierwszego stopnia – równy ${\displaystyle 1.}$
• Pierwiastkami kwadratowymi jedynki są ${\displaystyle +1}$ oraz ${\displaystyle -1.}$
• Pierwiastki sześcienne z jedynki to

${\displaystyle 1,{\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\tfrac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}},}$

• Pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są elementy zbioru

${\displaystyle \{1,+i,-1,-i\}.}$

Własności

Pierwiastki piątego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Istnieje dokładnie ${\displaystyle n}$ różnych pierwiastków stopnia ${\displaystyle n}$ z jedynki:

${\displaystyle \varepsilon _{n}^{(k)}=\cos \left({\tfrac {2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\tfrac {2k\pi }{n}}\right)=e^{\frac {2\pi ik}{n}},}$ gdzie ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1.}$

Dla ${\displaystyle n>1}$ wszystkie pierwiastki z jedynki ${\displaystyle n}$-tego stopnia sumują się do ${\displaystyle 0{:}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi ik}{n}}=0.}$

Przypadek ${\displaystyle n=2}$ powyższej tożsamości jest znana szerzej pod nazwą tożsamości Eulera.

Grupy pierwiastków z jedności n-tego stopnia ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$ wyczerpują skończone podgrupy grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy

${\displaystyle \mathbb {C} _{p^{\infty }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\bigcup _{n=1}^{\infty }~\mathbb {C} _{p^{n}},}$

gdzie ${\displaystyle p}$ jest ustaloną liczbą pierwszą.

Zobacz też

• addytywna grupa klas reszt
• ciało algebraicznie domknięte
• liczby zespolone

Przypisy

Bibliografia

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, s. 86–88.
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros., Москва 1976, s. 153–158.

Literatura dodatkowa

• Bagiński Cz.: Wstęp do teorii grup. Warszawa: SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.