Piramida Sierpińskiego

Piramida Sierpińskiego, Gąbka Sierpińskiego, tetrix – zbiór fraktalny, trójwymiarowy odpowiednik trójkąta Sierpińskiego.

Konstrukcja

Piramida Sierpińskiego – 5. etap konstrukcji

Progresja rekurencji piramidy poprzez 7 kroków

Piramida Sierpińskiego powstaje z czworościanu foremnego przez wykonanie następującego algorytmu:

1. Weź ostrosłup o krawędzi długości x.
2. Utwórz 4 ostrosłupy o krawędzi długości 1/2x i umieść je w przestrzeni tak, by zawierały się w dużym ostrosłupie oraz każdy miał wspólny jeden wierzchołek z dużym ostrosłupem.
3. Usuń ośmiościan foremny, który pozostaje w środku dużego ostrosłupa (o wierzchołkach w 1/2x).
4. Do każdego z 4 małych ostrosłupów zastosuj ten algorytm.

Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy piramidę Sierpińskiego.

Własności

• Piramida Sierpińskiego jest continuum jednowymiarowym.
• Każda ściana piramidy Sierpińskiego jest trójkątem Sierpińskiego.
• Miara Lebesgue’a piramidy Sierpińskiego wynosi zero.
• Wymiar fraktalny piramidy wynosi 2.

Program w Mathematica

Krótki program w języku Mathematica. Procedura rekurencyjna SiPyramid generuje piramidę dowolnego rzędu n:

vect[1] = {0, 0, 0};
vect[2] = {1, 0, 0};
vect[3] = {0.5, 3^0.5/2, 0};
vect[4] = {0.5, 1/3*3^0.5/2, ((3^0.5/2)^2 - (1/3*3^0.5/2)^2)^0.5};
Tetron[{i_, j_, k_}] := 
 Tetrahedron[{vect[1] + {i, j, k}, vect[2] + {i, j, k}, vect[3] + {i, j, k}, vect[4] + {i, j, k}}];
SiPyramid[0, {i_, j_, k_}] := {Tetron[{i, j, k}]};
SiPyramid[n_, {i_, j_, k_}] := 
  Module[{s = {}}, 
   Do[s = Union[s, 
      SiPyramid[n - 1, 2^(n - 1)*vect[u] + {i, j, k}]], {u, 4}]; s];

Zobacz też

• trójkąt Sierpińskiego
• dywan Sierpińskiego
• kostka Mengera
• fraktal