Pochodna Diniego

Pochodne Diniego – klasa uogólnień zwykłej pochodnej.

Definicja formalna

Górna pochodna Diniego, nazywana też górną pochodną prawostronną^[1], funkcji ciągłej ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ oznaczana symbolem ${\displaystyle f'_{+}}$ jest zdefiniowana jako

${\displaystyle f'_{+}(t):=\limsup _{h\to 0_{+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}},}$

gdzie ${\displaystyle \limsup }$ oznacza granicę górną. Dolna pochodna Diniego, oznaczana ${\displaystyle f'_{-},}$ jest zdefiniowana wzorem

${\displaystyle f'_{-}(t):=\liminf _{h\to 0_{+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}},}$

gdzie ${\displaystyle \liminf }$ jest granicą dolną.

Jeżeli ${\displaystyle f}$ jest określona na przestrzeni liniowej, to górną pochodną Diniego w punkcie ${\displaystyle t}$ w kierunku ${\displaystyle d}$ definiuje się wzorem

${\displaystyle f'_{+}(t,d):=\limsup _{h\to 0_{+}}{\frac {f(t+hd)-f(t)}{h}}.}$

Jeżeli ${\displaystyle f}$ jest lokalnie lipschitzowska, to ${\displaystyle f'_{+}}$ jest skończona. Jeśli ${\displaystyle f}$ jest różniczkowalna w ${\displaystyle t,}$ to pochodna Diniego w ${\displaystyle t}$ pokrywa się ze zwykłą pochodną w tym punkcie.

Uwagi

Czasem, zamiast ${\displaystyle f'_{+}(t),\;f'_{-}(t)}$ stosuje się odpowiednio zapisy ${\displaystyle \operatorname {D} ^{+}f(t),\;\operatorname {D} _{-}f(t)}$^[1]. Ponadto

${\displaystyle \operatorname {D} ^{-}f(t):=\limsup _{h\to 0_{-}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}$

oraz

${\displaystyle \operatorname {D} _{-}f(t):=\liminf _{h\to 0_{-}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.}$

W ten sposób w notacji z ${\displaystyle \operatorname {D} }$ znak (minus/plus) mówi o tym, czy brana jest granica lewo-, czy prawostronna, zaś jego położenie mówi o jej rodzaju (dolna/górna). Każda z pochodnych Diniego zawsze istnieje w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych; mogą jednak czasem przyjmować wartości ${\displaystyle +\infty }$ lub ${\displaystyle -\infty }$ (tzn. pochodne Diniego zawsze istnieją w sensie rozszerzonym).

Przypisy

Bibliografia

• T.P. Lukashenko: Dini derivative. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.)
• H.L. Royden: Real analysis. Wyd. II. MacMillan, 1968. ISBN 978-0-02-404150-0.

Ten artykuł zawiera materiał z artykułu Pochodna Diniego na PlanetMath, który został udostępniony na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License.