Pochodna Pincherlego

Pochodna Pincherlego – operator liniowy ${\displaystyle T'\colon K[x]\to K[x]}$ przekształcający inny operator liniowy ${\displaystyle T\colon K[x]\to K[x],}$ określony na przestrzeni liniowej wielomianów zmiennej ${\displaystyle x}$ z ciała ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ zdefiniowany wzorem

${\displaystyle T'=[T,x]=Tx-xT=-\operatorname {ad} (x)T}$

tak, że

${\displaystyle T'{\bigg (}p(x){\bigg )}=T{\bigg (}xp(x){\bigg )}-xT{\bigg (}p(x){\bigg )}}$ dla każdego ${\displaystyle p(x)\in K[x].}$

Innymi słowy, pochodna Pincherlego to komutator ${\displaystyle T}$ z mnożeniem przez ${\displaystyle x}$ w algebrze endomorfizmów ${\displaystyle \operatorname {End} \left(K[x]\right).}$

Pojęcie to nazwano po włoskim matematyku, Salvatore Pincherle (1853–1936).

Własności

Pochodna Pincherlego, jak każdy komutator jest różniczkowaniem, co oznacza, że spełnia prawa dodawania i mnożenia: dla danych dwóch operatorów liniowych ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle T}$ należących do ${\displaystyle \operatorname {End} \left(K[x]\right)}$ jest

• ${\displaystyle (T+S)'=T'+S',}$
• ${\displaystyle (TS)'=T'\!S+TS',}$ gdzie ${\displaystyle TS=T\circ S}$ jest złożeniem operatorów,
• ${\displaystyle [T,S]'=[T',S]+[T,S'],}$ gdzie ${\displaystyle [T,S]=TS-ST}$ jest zwykłym nawiasem Liego.

Zwykła pochodna, ${\displaystyle \operatorname {D} ={\frac {d}{dx}}}$ jest operatorem wielomianowym. Policzenie wprost daje, że jego pochodna Pincherlego to ${\displaystyle \operatorname {D} '=\left({\tfrac {d}{dx}}\right)'=\operatorname {Id} _{K[x]}=1.}$

Wzór ten uogólnia się do ${\displaystyle \left(\operatorname {D} ^{n}\right)'=\left({\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}\right)'=n\operatorname {D} ^{n-1}}$ przez indukcję. Dowodzi to, że pochodna Pincherlego operatora różniczkowego ${\displaystyle \partial =\sum a_{n}{\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}=\sum a_{n}\operatorname {D} ^{n}}$ również jest operatorem różniczkowym, a więc pochodna Pincherlego jest różniczkowaniem ${\displaystyle \operatorname {Diff} (K[x]).}$

Operator przesunięcia ${\displaystyle S_{h}(f)(x)=f(x+h)}$ może być zapisany jako ${\displaystyle S_{h}=\sum _{n}{\tfrac {h^{n}}{n!}}\operatorname {D} ^{n}}$ ze wzoru Taylora. Wtedy jego pochodna Pincherlego to ${\displaystyle S_{h}'=\sum _{n}{\tfrac {h^{n}}{(n-1)!}}\operatorname {D} ^{n-1}=h\cdot S_{h}.}$ Innymi słowy, operatory przesunięcia są wektorami własnymi pochodnej Pincherlego, którego spektrum jest cała przestrzeń skalarów ${\displaystyle K.}$

Jeżeli ${\displaystyle T}$ jest niezmiennicze ze względu na przesunięcia, tzn. jeżeli ${\displaystyle T}$ komutuje z ${\displaystyle S_{h}}$ lub ${\displaystyle [T,S_{h}]=0,}$ to zachodzi wtedy również ${\displaystyle [T',S_{h}]=0,}$ a więc ${\displaystyle T'}$ również jest niezmiennicze ze względu na przesunięcia o to samo przesunięcie ${\displaystyle h.}$

„Operator delta z czasem dyskretnym” ${\displaystyle (\delta f)(x)={\tfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ to operator ${\displaystyle \delta ={\tfrac {1}{h}}(S_{h}-1),}$ którego pochodna Pincherlego jest operatorem przesunięcia ${\displaystyle \delta '=S_{h}.}$

Zobacz też

• analiza symboliczna
• komutator
• operator delta

Linki zewnętrzne

• (ang.) Weisstein, Eric W. „Pincherle Derivative” na MathWorld.
• (ang.) Biography of Salvatore Pincherle w archiwum historii matematyki MacTutor.