Pochodna kierunkowa

Pochodna kierunkowa – pochodna funkcji wielu zmiennych ${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{n}]\in \mathbb {R} ^{n}}$ obliczona w kierunku dowolnego wektora jednostkowego ${\displaystyle \mathbf {u} =[u_{1},\ldots ,u_{n}].}$ Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia pochodnej cząstkowej na dowolne kierunki, przy czym pochodne cząstkowe są tożsame z pochodnymi w kierunkach wektorów jednostkowych bazy układu współrzędnych.

Definicja pochodnej kierunkowej

Paraboloida, która jest wykresem funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,}$ w czerwonym punkcie ma maksimum; w punkcie tym zerują się pochodne w dowolnym kierunku, co jest warunkiem koniecznym istnienia maksimum.

Niech dana będzie przestrzeń euklidesowa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ i zawarty w niej podzbiór otwarty ${\displaystyle A.}$

Pochodną kierunkową funkcji ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ wzdłuż wektora jednostkowego ${\displaystyle \mathbf {u} =[u_{1},\ldots ,u_{n}]\in \mathbb {R} ^{n}}$ w punkcie ${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{n}]\in A}$ nazywamy granicę

${\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {u} }}=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{t}},}$

zakładając, że granica ta istnieje.

Związek pochodnej kierunkowej z gradientem

Okręgi przedstawiają linie o stałych wartościach funkcji ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$ Zielony wektor wskazuje gradient funkcji, wektor pomarańczowy ${\displaystyle \mathbf {u} }$ wskazuje kierunek, w którym liczy się pochodną kierunkową. Wektor gradientu jest dłuższy, gdyż wskazuje kierunek największej zmiany wartości funkcji.

Twierdzenie:

Jeżeli istnieje gradient funkcji ${\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )}$ w punkcie ${\displaystyle \mathbf {x} }$ (co oznacza, że ${\displaystyle f}$ jest różniczkowalna w ${\displaystyle \mathbf {x} }$)

${\displaystyle \nabla f=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right],}$

to pochodna kierunkowa funkcji ${\displaystyle f}$ w kierunku wektora ${\displaystyle \mathbf {u} }$ jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji ${\displaystyle f}$ i wektora ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }f(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {u} }$

Przykład

(1) Niech będzie dana funkcja

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}.}$

(2) Gradient funkcji ${\displaystyle f}$ wynosi

${\displaystyle \nabla f(x,y)=\left[{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}},\ {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right]=\left[2x+y,\ x-2y\right].}$

(3) Pochodna kierunkowa funkcji ${\displaystyle f}$ w kierunku jednostkowego wektora ${\displaystyle \mathbf {u} =\left[{\frac {1}{\sqrt {5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {5}}}\right]}$ dana jest zależnością

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \mathbf {u} =\left[2x+y,\ x-2y\right]\left[{\frac {1}{\sqrt {5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {5}}}\right],}$

czyli

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }f(x,y)={\frac {1}{\sqrt {5}}}(2x+y)+{\frac {2}{\sqrt {5}}}(x-2y)={\frac {4x-3y}{\sqrt {5}}}.}$

Twierdzenia

Pochodna kierunkowa ma wiele własności identycznych jak zwykła pochodna. Wśród nich, dla funkcji ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ określonych w otoczeniu punktu ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$ w którym funkcje te są różniczkowalne, słuszne są reguły:

(1) reguła sumy

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.}$

(2) reguła stałej: dla dowolnej stałej ${\displaystyle c\in R}$ zachodzi

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.}$

(3) reguła iloczynu (reguła Leibniza)

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\,\nabla _{\mathbf {v} }f+f\,\nabla _{\mathbf {v} }g.}$

(4) reguła łańcuchowa: jeśli ${\displaystyle g}$ jest różniczkowalna w ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$ zaś ${\displaystyle h}$ jest różniczkowalna w ${\displaystyle g(\mathbf {x} )}$ to

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {x} )=\nabla h{\bigl (}g(\mathbf {x} ){\bigr )}\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {x} ).}$

Pochodna w kierunku wektora niejednostkowego

(1) Definicja pochodnej w kierunku niejednostkowego i niezerowego wektora ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ma postać:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(\mathbf {x} )=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t|\mathbf {v} |}},}$

gdzie ${\displaystyle |\mathbf {v} |}$ – długość wektora ${\displaystyle \mathbf {v} .}$

(2) Twierdzenie

Gdy ${\displaystyle f}$ jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$ to

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}},}$

czyli pochodna ta jest identyczna jak dla wektora jednostkowego.

Uwaga:

Definicja pochodnej kierunkowej dla wektorów niejednostkowych jest niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne algebry różniczkowej tworzą przestrzeń liniową.

Pochodna kierunkowa pochodnej Frécheta

Dla bardziej ogólnego przypadku pochodnej Frécheta ${\displaystyle \operatorname {D} \!f(\mathbf {x} )}$ pochodną kierunkową wyznacza wzór:

${\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {u} }}=\operatorname {D} \!f(\mathbf {x} )(\mathbf {u} )}$

Związek z pochodną cząstkową

Jeśli ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ jest bazą standardową w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ to pochodna kierunkowa funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ wzdłuż wektora dla ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {e} _{i}}$ jest równa pochodnej cząstkowej względem zmiennej ${\displaystyle x_{i},}$ tzn.

${\displaystyle {\frac {\partial f(\mathrm {x} )}{\partial \mathbf {e} _{i}}}={\frac {\partial f(\mathrm {x} )}{\partial x_{i}}},}$

gdzie ${\displaystyle \mathrm {x} =[x_{1},\dots ,x_{n}].}$

Rozmaitości różniczkowe

Przestrzeń styczna ${\displaystyle T_{x}M}$ 2-wymiarowa (tj. płaszczyzna) do 2-wymiarowej rozmaitości ${\displaystyle M}$ (powierzchni) w punkcie ${\displaystyle x}$ oraz wektor styczny ${\displaystyle v\in T_{x}M}$ do krzywej ${\displaystyle \gamma }$ przechodzącej przez punkt ${\displaystyle x\in M.}$

Jeżeli:

(1) ${\displaystyle f}$ jest funkcją określoną w otoczeniu punktu ${\displaystyle x}$ rozmaitości różniczkowej ${\displaystyle M,}$ różniczkowalną w punkcie ${\displaystyle {\vec {x}}}$

(2) ${\displaystyle {\vec {v}}}$ oznacza wektor styczny do rozmaitości ${\displaystyle M}$ w punkcie ${\displaystyle {\vec {x}}}$

(3) odwzorowanie ${\displaystyle {\vec {\gamma }}\colon [-1,1]\to M}$ generuje krzywą różniczkowalną ${\displaystyle {\vec {\gamma }}(\tau ),}$ taką że

• ${\displaystyle {\vec {\gamma }}(0)={\vec {x}}}$ oraz
• ${\displaystyle {\vec {\gamma }}\,'(0)={\vec {v}},}$

to pochodną kierunkową w punkcie ${\displaystyle {\vec {x}}}$ wzdłuż wektora ${\displaystyle {\vec {v}}}$ definiuje wzór

${\displaystyle \nabla _{\vec {v}}f(p)={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \tau }}(f\circ {\vec {\gamma }})(\tau ){\Big |}_{\tau =0}.}$

Tw. Dowodzi się, że pochodna ta nie zależy od wyboru krzywej ${\displaystyle {\vec {\gamma }}.}$

Przestrzenie liniowo-topologiczne

Bezpośrednim uogólnieniem pochodnej kierunkowej na lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne (w tym przestrzenie Banacha) jest tzw. pochodna Gâteaux.

Różne oznaczenia pochodnej kierunkowej

Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, np.

${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial \mathbf {u} }}(\mathbf {x} ),\;\operatorname {D} _{\mathbf {u} }f(\mathbf {x} ),\;f'_{\mathbf {u} }(\mathbf {x} ),\;\nabla _{\mathbf {u} }f(\mathbf {x} ),\;\mathbf {u} \nabla f(\mathbf {x} ).}$

Zobacz też

• pochodna Frécheta
• pochodna Gâteaux
• pochodna kowariantna
• pochodna zupełna

Inne

• forma różniczkowa
• przestrzeń styczna

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. I: Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna, Warszawa: PWN, 2009.