Pochodna zupełna

Pochodną zupełną funkcji ${\displaystyle f(x,y,z,\dots ,t)}$ wielu zmiennych zależnych od jednej zmiennej niezależnej ${\displaystyle t,}$ nazywa się wyrażenie:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

przy czym:

• zmienne ${\displaystyle x,y,z,\dots }$ są tzw. zmiennymi zależnymi, bo są zależne zadanymi funkcjami od jednej zmiennej niezależnej ${\displaystyle t,}$ tj.

${\displaystyle x=x(t),y=y(t),\dots ,}$

• ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial t}}}$ – pochodne cząstkowe względem ${\displaystyle x,y,\dots ,t,}$

• ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}},{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\cdots }$ – pochodne zmiennych zależnych względem zmiennej niezależnej.

Motywacja

Załóżmy, że ${\displaystyle f}$ jest funkcją dwóch zmiennych, ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y.}$ Zazwyczaj zmienne te traktuje się jako niezależne. Jednak w pewnych sytuacjach jedna zmienna może być zależna od drugiej. Np. ${\displaystyle y}$ związane jest z ${\displaystyle x,}$ gdy ograniczamy dziedzinę funkcji do pewnej krzywej w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ W tym wypadku zmiana wartości funkcji związana ze zmianą ${\displaystyle x}$ wyraża się poprzez pochodną zupełną.

Przykład

(1) Niech będzie dana funkcja:

${\displaystyle f(x,y)=xy}$

oraz załóżmy, że ograniczamy się do dziedziny, takiej że:

${\displaystyle y=x}$

(2) Zmiana funkcji spowodowana zmianą zmiennej ${\displaystyle x}$ jest dana za pomocą pochodnej cząstkowej:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=y.}$

Jednak ponieważ ${\displaystyle y}$ zależy od ${\displaystyle x,}$ to zmiana ${\displaystyle x}$ powoduje także zmianę ${\displaystyle y,}$ a tym samym zmianę funkcji.

(3) Podstawiając zależność ${\displaystyle y=x}$ do funkcji, otrzyma się funkcję jednej zmiennej ${\displaystyle x\equiv t{:}}$

${\displaystyle g(x)\equiv f(x,y(x))=x^{2}}$

Obliczając pochodną funkcji ${\displaystyle g}$ względem, otrzymamy:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}=2x.}$

(4) Zamiast tego można obliczyć pochodną zupełną funkcji ${\displaystyle f{:}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=y+x\cdot 1=x+y=2x}$

(5) Widać stąd, że:

Aby obliczyć zmianę funkcji wielu zmiennych, takich że są one zależne od jednej zmiennej niezależnej, to można obliczyć pochodną zupełną – obliczanie pochodnej zupełnej pozwala pominąć etap podstawiania zależności funkcyjnych zmiennych zależnych od zmiennej niezależnej do wyrażenia na funkcję wielu zmiennych.

Różniczka zupełna funkcji

Mnożąc pierwsze równanie przez różniczkową zmianę zmiennej niezależnej ${\displaystyle \operatorname {d} t,}$ otrzyma się:

${\displaystyle \operatorname {d} f={\frac {\partial f}{\partial t}}\operatorname {d} t+{\frac {\partial f}{\partial x}}\operatorname {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\operatorname {d} y}$

Wielkość ${\displaystyle \operatorname {d} f}$ nazywa się różniczką zupełną funkcji ${\displaystyle f}$ związaną z różniczkową zmianą ${\displaystyle \operatorname {d} t}$ zmiennej niezależnej ${\displaystyle t.}$

Zobacz też

• pochodna
• pochodna cząstkowa
• pochodna kierunkowa
• pochodna kowariantna
• różniczka
• różniczka zupełna

Bibliografia

• W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, 1997. ISBN 83-01-11658-7.