Podgrupa charakterystyczna

Podgrupa charakterystyczna – podgrupa niezmiennicza ze względu na działanie automorfizmów.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą. Podgrupę ${\displaystyle H\leqslant G}$ nazywa się charakterystyczną, jeżeli dla każdego automorfizmu (bijektywnego homomorfizmu) ${\displaystyle \varphi }$ grupy ${\displaystyle G}$ i dla każdego elementu ${\displaystyle h\in H}$ zachodzi ${\displaystyle \varphi (h)\in H}$ lub równoważnie ${\displaystyle \varphi (H)\subseteq H.}$

Ta właściwość podgrupy ${\displaystyle H}$ grupy ${\displaystyle G}$ oznaczana jest symbolem ${\displaystyle H\blacktriangleleft G}$ lub ${\displaystyle H\;\operatorname {char} \;G.}$

Uwagi

• Podgrupy charakterystyczne są w szczególności niezmiennicze ze względu na automorfizmy wewnętrzne, zatem są one podgrupami normalnymi. Sformułowanie odwrotne nie jest prawdziwe, w czwórkowej grupie Kleina ${\displaystyle V_{4}}$ każda podgrupa jest normalna, ale wszystkie sześć permutacji trzech nieneutralnych elementów jest automorfizmami, stąd trzy podgrupy rzędu 2 nie są charakterystyczne.
• Jednakże jeśli ${\displaystyle H\vartriangleleft G}$ i grupa ${\displaystyle G}$ nie zawiera innych podgrup o tym samym rzędzie, to ${\displaystyle H}$ musi być charakterystyczna, ponieważ automorfizmy zachowują rząd.

Podgrupa ściśle charakterystyczna

Podgrupa ${\displaystyle H}$ nazwana zostanie ściśle charakterystyczną w ${\displaystyle G,}$ jeśli jest niezmiennicza ze względu na suriektywne endomorfizmy. Ponieważ w grupach skończonych suriektywność implikuje iniektywność, to pojęcie jest wówczas równoważne pojęciu podgrupy charakterystycznej, jednak w grupach nieskończonych suriektywny endomorfizm nie musi być automorfizmem.

Podgrupa całkowicie charakterystyczna

Jeżeli ${\displaystyle H\leqslant G}$ jest podgrupą niezmienniczą ze względu na dowolny endomorfizm grupy ${\displaystyle G,}$ to nazywa się ją podgrupą całkowicie charakterystyczną (CC-podgupą, również całkowicie niezmienniczą albo w pełni charakterystyczną bądź w pełni niezmienniczą). Innymi słowy, jeżeli ${\displaystyle \varphi \colon G\to G}$ jest dowolnym homomorfizmem, to ${\displaystyle \varphi (H)\leqslant H.}$

W każdej grupie zawierają się dwie całkowicie charakterystyczne grupy niewłaściwe: cała grupa oraz podgrupa trywialna. Każda całkowicie charakterystyczna grupa jest grupą ściśle charakterystyczną, a więc podgrupą charakterystyczną. Komutant grupy zawsze jest grupą całkowicie charakterystyczną. Ogólniej, każda podgrupa werbalna jest zawsze całkowicie charakterystyczna. Dla dowolnej zredukowanej grupy wolnej, a w szczególności dla każdej grupy wolnej, zachodzi też twierdzenie odwrotne – każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest werbalna.

Grupa elementarna

Grupę, której jedynymi podgrupami normalnymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą prostą. Analogicznie grupę, której jedynymi podgrupami charakterystycznymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą elementarną bądź grupą charakterystycznie prostą.

Własności

• Każda podgrupa charakterystyczna jest normalna.
• Każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest ściśle charakterystyczna, więc i charakterystyczna. Łatwo sprawdzić, że centrum jest zawsze podgrupą ściśle charakterystyczną, jednak nie zawsze całkowicie charakterystyczną.
• Jeśli ${\displaystyle G}$ jest grupą skończoną, ${\displaystyle H}$ jest jej podgrupą normalną oraz ${\displaystyle \operatorname {NWD} (|H|,|G/H|)=1,}$ to ${\displaystyle H\blacktriangleleft G.}$

Przechodniość

Własności charakterystyczności lub całkowitej charakterystyczności podgrupy są przechodnie. Otóż jeśli ${\displaystyle H}$ jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą ${\displaystyle G,}$ a ${\displaystyle G}$ (całkowicie) charakterystyczną podgrupą ${\displaystyle E,}$ to ${\displaystyle H}$ jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą ${\displaystyle E.}$

Co więcej, choć nie jest prawdą, że każda podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy jest normalna w tej grupie, to jest prawdą, iż każda charakterystyczna podgrupa podgrupy normalnej jest w niej normalna, czyli:

${\displaystyle H\blacktriangleleft G\vartriangleleft E\implies H\vartriangleleft E,}$ w szczególności zaś ${\displaystyle H\vartriangleleft G.}$

Podobnie nie jest prawdą, iż każda ściśle charakterystyczna podgrupa podgrupy ściśle charakterystycznej danej grupy jest w niej ściśle charakterystyczna, to jest prawdą, że każda całkowicie charakterystyczna podgrupa ściśle charakterystycznej jest ściśle charakterystyczna w całej grupie.

Relacja między tymi własnościami może być zobrazowana za pomocą następującego diagramu:

podgrupa ← podgrupa normalna ← podgrupa charakterystyczna ← podgrupa ściśle charakterystyczna ← podgrupa całkowicie charakterystyczna.

Przykłady

• Każda podgrupa grupy cyklicznej jest charakterystyczna.
• Jeżeli ${\displaystyle G}$ jest grupą, wówczas grupy generowane odpowiednio przez zbiory: ${\displaystyle G_{k}=\{a\in G\colon a^{k}=1\}}$ oraz ${\displaystyle G^{k}=\{a^{k}\in G\colon a\in G\},\;k\in \mathbb {N} }$ są podgrupami charakterystycznymi grupy ${\displaystyle G.}$
• Niech dana będzie grupa ${\displaystyle G=S_{3}\times \mathbb {Z} _{2}}$ (rzędu 12 będącą produktem prostym grupy symetrycznej rzędu 6 i grupy cyklicznej rzędu 2). Centrum ${\displaystyle G}$ jest jej drugi czynnik, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$ Pierwszy czynnik ${\displaystyle S_{3}}$ zawiera podgrupę izomorficzną z ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2},}$ np. ${\displaystyle \{\operatorname {id} ,(12)\}.}$ Niech ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} _{2}\to S_{3}}$ będzie homomorfizmem we wskazaną podgrupę. Wówczas złożenie rzutu ${\displaystyle G}$ na jej drugi współczynnik ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ z ${\displaystyle \varphi }$ oraz włożeniem ${\displaystyle S_{3}}$ w ${\displaystyle G}$ (jako pierwszy współczynnik) daje endomorfizm ${\displaystyle G}$ w którym obraz centrum ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ nie zawiera się w centrum, a zatem centrum nie jest całkowicie charakterystyczną podgrupą grupy ${\displaystyle G.}$
• Komutant dowolnej grupy ${\displaystyle G}$ jest jej podgrupą całkowicie charakterystyczną, gdyż jest on podgrupą werbalną (generowaną przez wszystkie wyrażenia określonej postaci – komutatory). Dla każdego automorfizmu ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} (G)}$ i dla każdego ${\displaystyle x,y\in G}$ zachodzi ${\displaystyle \sigma ([x,y])=[\sigma (x),\sigma (y)].}$
• Część torsyjna (największa podgrupa torsyjna) grupy abelowej jest podgrupą całkowicie charakterystyczną.
• Przykładami grup elementarnych są grupy addytywne przestrzeni wektorowych nad ciałami skończonymi.

Przekształcenia grupy auto- i endomorfizmów

Jeżeli ${\displaystyle H\blacktriangleleft G,}$ to każdy automorfizm ${\displaystyle G}$ indukuje automorfizm na grupie ilorazowej ${\displaystyle G/H,}$ istnieje stąd przekształcenie ${\displaystyle \operatorname {Aut} \,G\to \operatorname {Aut} \,G/H.}$

Jeżeli ${\displaystyle H}$ jest podgrupą całkowicie charakterystyczną w ${\displaystyle G,}$ to analogicznie: każdy endomorfizm ${\displaystyle G}$ indukuje endomorfizm ${\displaystyle G/H,}$ który daje przekształcenie ${\displaystyle \operatorname {End} \,G\to \operatorname {End} \,G/H.}$

Zobacz też

• automorfizm
• grupa
• grupa charakterystycznie prosta
• podgrupa normalna

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk: Algebra I. skrypt WMIM, 2005.
• Cz. Bagiński: Wstęp do teorii grup. SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
• M.I. Kargapołow, J.I. Mierzliakow: Podstawy teorii grup. PWN, 1976.
• W.R. Scott: Group Theory. Dover, 1987, s. 45–46. ISBN 0-486-65377-3.
• W. Magnus, A. Karrass, D. Solitar: Combinatorial Group Theory. Dover, 2004, s. 74–85. ISBN 0-486-43830-9.