Podgrupa torsyjna

Podgrupa torsyjna – podgrupa danej grupy składająca się ze wszystkich elementów skończonego rzędu. Grupę abelową nazywa się torsyjną albo periodyczną, jeżeli każdy jej element ma skończony rząd i beztorsyjną, jeśli dowolny nietożsamościowy element tej grupy jest nieskończonego rzędu (istnieją więc grupy, które nie są ani torsyjne, ani beztorsyjne). Podgrupę torsyjną oznacza się symbolem ${\displaystyle A_{\operatorname {T} }.}$ Niekiedy spotyka się również nazwę maksymalna podgrupa torsyjna zaznaczająca, iż podgrupa składa się z wszystkich elementów torsyjnych (w dalszej części artykułów pod nazwą „podgrupa torsyjna” będzie się rozumieć podgrupę o właśnie tych własnościach).

Dowód zamkniętości ${\displaystyle A_{\operatorname {T} }}$ ze względu na dodawanie opiera się na przemienności dodawania (zob. sekcja Przykłady).

Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest abelowa, to jej podgrupa torsyjna ${\displaystyle T}$ jest całkowicie niezmienniczą podgrupą grupy ${\displaystyle A,}$ a jej grupa ilorazowa ${\displaystyle A/T}$ jest beztorsyjna (jest to maksymalna grupa o tej własności, przy czym jest ona wyznaczona jednoznacznie). Istnieje funktor kowariantny ${\displaystyle \operatorname {T} }$ z kategorii grup abelowych w kategorię grup torsyjnych, który odwzorowuje każdą grupę na jej podgrupę torsyjną, a każdy homomorfizm na jego zawężenie do podgrupy torsyjnej. Z tego względu podgrupę torsyjną grupy ${\displaystyle A}$ oznacza się czasem symbolem ${\displaystyle \operatorname {T} (A).}$ Istnieje również inny funktor kowariantny z kategorii grup abelowych w kategorię grup beztorsyjnych przekształcający każdą grupę w jej iloraz przez jej podgrupę torsyjną i każdy homomorfizm w odpowiednio indukowany homomorfizm (który jest dobrze określony, co dość łatwo sprawdzić).

Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest skończenie generowana i abelowa, to można ją zapisać jako sumę prostą jej podgrupy torsyjnej ${\displaystyle T}$ i jej podgrupy beztorsyjnej (nie jest to jednak prawdą w przypadku nieskończenie generowanych grup abelowych). W dowolnym rozkładzie ${\displaystyle A}$ na sumę prostą podgrupy torsyjnej ${\displaystyle S}$ i jej części beztorsyjnej ${\displaystyle S}$ musi być równa ${\displaystyle T}$ (część beztorsyjna nie jest wyznaczona jednoznacznie). Jest to kluczowa obserwacja przy klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych.

Podgrupa torsyjna p-potęgowa

Dla dowolnej grupy abelowej ${\displaystyle A}$ i liczby pierwszej ${\displaystyle p}$ zbiór ${\displaystyle A_{\operatorname {T} _{p}}}$ elementów ${\displaystyle A}$ mających rząd wyrażający się pewną potęgą liczby ${\displaystyle p}$ tworzy podgrupę nazywaną podgrupą torsyjną p-potęgowa lub, mniej precyzyjnie, podgrupą p-torsyjną bądź p-składową:

${\displaystyle A_{\operatorname {T} _{p}}=\left\{a\in A\colon \exists _{n\in \mathbb {N} }\;p^{n}a=0\right\}.}$

Na podstawie odpowiedniego faktu dotyczącego grup torsyjnych podgrupa torsyjna ${\displaystyle A_{\operatorname {T} }}$ jest izomorficzna z sumą prostą jej p-potęgowych podgrup torsyjnych wziętą po wszystkich liczbach pierwszych ${\displaystyle p{:}}$

${\displaystyle A_{\operatorname {T} }=\bigoplus _{p\in \mathbb {P} }A_{\operatorname {T} _{p}}.}$

Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest skończoną grupą abelową, to ${\displaystyle A_{\operatorname {T} _{p}}}$ pokrywa się z jednoznacznie wyznaczoną p-podgrupą Sylowa grupy ${\displaystyle A.}$

Każda p-potęgowa podgrupa torsyjna grupy ${\displaystyle A}$ jest podgrupą całkowicie niezmienniczą. Więcej, dowolny homomorfizm między grupami abelowymi odwzorowuje każdą z p-potęgowych podgrup torsyjnych na odpowiednią p-potęgową podgrupę torsyjną.

Stąd, dla każdej liczby pierwszej ${\displaystyle p}$ istnieje funktor ${\displaystyle \operatorname {T} _{p}}$ z kategorii grup abelowych w kategorię p-potęgowych grup torsyjnych, który odwzorowuje każdą grupę na jej p-potęgową podgrupę torsyjną i zawęża każdy homomorfizm do p-potęgowych podgrup torsyjnych. Stąd pochodzi również inne oznaczenie tych podgrup, mianowicie ${\displaystyle \operatorname {T} _{p}(A).}$ Iloczyn przebiegający zbiór wszystkich liczb pierwszych zawężeń tych funktorów do kategorii grup torsyjnych jest funktorem wiernym z kategorii grup torsyjnych w iloczyn przebiegający wszystkie liczby pierwsze kategorii grup p-torsyjnych. W pewnym sensie oznacza to, że osobne studiowanie grup p-torsyjnych w ogólności mówi wszystko o grupach torsyjnych i w ogólności: iż teoria grup torsyjnych redukuje się do teorii p-grup.

Przykłady i dalsze wyniki

• Podzbiór torsyjny grupy nieabelowej nie jest, w ogólności, podgrupą; w tym kontekście mówi się o części torsyjnej. Na przykład w nieskończonej grupie diedralnej o prezentacji

  ${\displaystyle \langle x,y\colon x^{2}=y^{2}=1\rangle }$

element ${\displaystyle xy}$ jest iloczynem dwóch elementów torsyjnych, ale ma rząd nieskończony.

• Elementy torsyjne w grupie nilpotentnej tworzą podgrupę normalną^[1].
• Z definicji każda skończona grupa abelowa jest grupą torsyjną. Nie każda grupa torsyjna jest jednak skończona: niech dana będzie suma prosta przeliczalnie wiele egzemplarzy grup cyklicznych ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2};}$ jest to grupa torsyjna, ponieważ każdy element ma rząd równy 2. W ten sposób w grupach torsyjnych może być brak górnego ograniczenia względem rzędów elementów, o ile nie jest ona skończenie generowana, jak to widać na przykładzie grupy ilorazowej ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$
• Każda grupa abelowa wolna jest beztorsyjna, odwrotne twierdzenie jest nieprawdziwe: przykładem może być grupa addytywna liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• Nawet jeśli ${\displaystyle A}$ nie jest skończenie generowana, to rozmiar jej części beztorsyjnej jest jednoznacznie wyznaczony, jak to bliżej przedstawiono w artykule dotyczącym rangi grupy abelowej.
• Grupa abelowa ${\displaystyle A}$ jest beztorsyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jest płaska jako ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-moduł, co oznacza, że jeśli ${\displaystyle C}$ jest podgrupą pewnej grupy abelowej ${\displaystyle B,}$ to przekształcenie naturalne z iloczynu tensorowego ${\displaystyle C\otimes A}$ w ${\displaystyle B\otimes A}$ jest różnowartościowe.
• Wzięcie iloczynu tensorowego grupy ${\displaystyle A}$ z ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (lub dowolną inną grupą podzielną) gubi jej część torsyjną. Oznacza to, że jeśli ${\displaystyle T}$ jest grupą torsyjną, to ${\displaystyle T\otimes \mathbb {Q} =0.}$ Dla dowolnej grupy abelowej ${\displaystyle A}$ o podgrupie torsyjnej ${\displaystyle T}$ zachodzi

  ${\displaystyle A\otimes \mathbb {Q} =A/T\otimes \mathbb {Q} .}$

Zobacz też

• torsja

Przypisy