Podprzestrzeń liniowa

Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni. Równoważnie, podzbiór ${\displaystyle U}$ przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle K}$ jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich wektorów ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in U}$ i skalarów ${\displaystyle a\in K}$ spełnione są warunki:

${\displaystyle 0\in U,}$

${\displaystyle a\mathbf {u} \in U,}$

${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} \in U}$^[1].

Innymi słowy, podprzestrzeń liniowa danej przestrzeni liniowej to podzbiór ${\displaystyle U}$ jest zamknięty ze względu na mnożenie przez skalar i ze względu na dodawanie wektorów, oba działania w podprzestrzeni są więc dobrze określone a spełnianie przez nie aksjomatów przestrzeni liniowej wynika z tego, że ${\displaystyle U}$ jest podzbiorem ${\displaystyle V.}$

Powyższą charakteryzację można wyrazić również następująco: podprzestrzeń liniowa to taki podzbiór przestrzeni liniowej, do którego należy każda kombinacja liniowa jego dwóch elementów; z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest to równoważne temu, by należała do niego dowolna kombinacja liniowa każdej skończonej liczby jego elementów.

Przykłady

Na szaro, zielono i żółto zaznaczono dwuwymiarowe podprzestrzenie (płaszczyzny) trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej; na niebiesko zaznaczono podprzestrzeń jednowymiarową (prostą). Dobór układu współrzędnych nie jest istotny.

• W każdej przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ zbiory ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$ oraz cała przestrzeń ${\displaystyle V}$ są podprzestrzeniami; pierwsza z nich nazywana jest trywialną, druga – niewłaściwą.
• W przestrzeni współrzędnych ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ podzbiór złożony z wektorów postaci ${\displaystyle [t,3t]}$ dla ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ jest podprzestrzenią (jednowymiarową), którą geometrycznie można interpretować jako prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt ${\displaystyle (1,3).}$
• Podobnie w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ podzbiór złożony z wektorów postaci ${\displaystyle [t,3t,s],}$ gdzie ${\displaystyle t,s}$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest (dwuwymiarową) podprzestrzenią, którą można interpretować geometrycznie jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkty ${\displaystyle (0,0,1)}$ i ${\displaystyle (1,3,0).}$
• W przestrzeni liniowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ wszystkich ciągów o wartościach rzeczywistych następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi:
  • zbiór ciągów stałych,
  • zbiór ciągów zbieżnych,
  • zbiór ciągów zbieżnych do 0 (zob. przestrzeń c₀),
  • zbiór ciągów ograniczonych^[2][3].
• Jeżeli ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią unitarną, to dopełnienie ortogonalne jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzenią przestrzeni V.

Działania na podprzestrzeniach

Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową.

• Część wspólna dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych przestrzeni ${\displaystyle V}$ jest podprzestrzenią liniową^[4]. Istotnie, każda kombinacja liniowa elementów części wspólnej rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tej części wspólnej, jako że należy ona do każdej z podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.

• Dla rodziny ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{n}}$ podprzestrzeni liniowych przestrzeni ${\displaystyle V}$ definiuje się ich sumę algebraiczną

${\displaystyle U_{1}+\ldots +U_{n}:=\{\mathbf {u} _{1}+\ldots \mathbf {u} _{n}\colon \mathbf {u} _{1}\in U_{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}\in U_{n}\}.}$

Suma algebraiczna ${\displaystyle U_{1}+\ldots +U_{n}}$ podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\displaystyle V}$^[5].

Dowód

Niech

${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in U_{1}+\ldots +U_{n}.}$

Wówczas

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}+\ldots +\mathbf {x} _{n},\;\mathbf {y} =\mathbf {y} _{1}+\ldots +\mathbf {y} _{n}}$

dla pewnych ${\displaystyle \mathbf {x} _{i},\mathbf {y} _{i}\in U_{i}.}$ Oznacza to, że

${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {x} _{1}+\ldots +\mathbf {x} _{n}+\mathbf {y} _{1}+\ldots +\mathbf {y} _{n}=\underbrace {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {y} _{1}} _{\in U_{1}}+\ldots +\underbrace {\mathbf {x} _{n}+\mathbf {y} _{n}} _{\in U_{n}}\in U_{1}+\ldots +U_{n}.}$

Niech ${\displaystyle \mathbf {x} \in U+W,}$ zaś ${\displaystyle c}$ będzie skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora ${\displaystyle \mathbf {x} }$ co wyżej uzyskuje się

${\displaystyle c\mathbf {x} =c(\mathbf {x} _{1}+\ldots +\mathbf {x} _{n})=\underbrace {c\mathbf {x} _{1}} _{\in U_{1}}+\ldots +\underbrace {c\mathbf {x} _{n}} _{\in U_{n}}\in U_{1}+\ldots +U_{n}.}$

Powyższa konstrukcja przenosi się na dowolną rodzinę ${\displaystyle \{U_{i}\colon i\in I\}}$ podprzestrzeni liniowych ${\displaystyle V.}$ Ich sumę algebraiczną definiuje się jako

${\displaystyle \sum _{i\in I}U_{i}={\Big \{}\mathbf {x} _{1}+\ldots +\mathbf {x} _{n}\colon \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\in \bigcup _{i\in I}U_{i}{\Big \}}.}$

Podobnie jak w skończonym przypadku, suma algebraicznej dowolnej rodziny podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową.

Sumę algebraiczną ${\displaystyle U_{1}+\ldots +U_{n}}$ nazywa się prostą, gdy ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}=\{0\}}$ dla ${\displaystyle i\neq j;}$ stosuje się wówczas oznaczenie ${\displaystyle U_{1}\oplus \ldots \oplus U_{n}.}$

Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych przestrzeni ${\displaystyle V}$ wraz z działaniami ${\displaystyle +}$ i ${\displaystyle \cap }$ tworzy kratę zupełną, w której infimum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich część wspólna natomiast supremum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich (możliwie nieskończona) suma algebraiczna^[6].

Wymiar i kowymiar

Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową. Ponieważ każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni ${\displaystyle V}$ sama jest przestrzenią liniową można mówić o jej wymiarze (oznaczanym symbolem ${\displaystyle \dim }$), tj. mocy (dowolnej) bazy tej przestrzeni.

Niech ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle W}$ będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni ${\displaystyle V.}$ Między wymiarami przestrzeni ${\displaystyle U+W}$ i ${\displaystyle U\cap W}$ zachodzi związek^[7][8]

${\displaystyle \dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim U+\dim W.}$

W szczególności^[9][8]

${\displaystyle \dim(U\oplus W)=\dim U+\dim W.}$

Przeciwne twierdzenie również zachodzi, tj. jeżeli ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{n}}$ są takimi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni ${\displaystyle V,}$ że

${\displaystyle \dim V=\dim U_{1}+\ldots +\dim U_{n},}$

to^[10]

${\displaystyle V=U_{1}\oplus \ldots \oplus U_{n}.}$

Niech ${\displaystyle U}$ oraz ${\displaystyle W}$ będą podprzestrzeniami ${\displaystyle V.}$ Kowymiarem podprzestrzeni ${\displaystyle U}$ w ${\displaystyle V,}$ oznaczanym ${\displaystyle \mathrm {codim} \;U}$ nazywa się wymiar przestrzeni ilorazowej ${\displaystyle V/U.}$ Jeżeli ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią skończenie wymiarową, to

${\displaystyle \dim V/U=\dim V-\dim U.}$

Podprzestrzeń liniowa generowana przez zbiór wektorów

Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K.}$ Dla każdego (niekoniecznie skończonego) podzbioru ${\displaystyle A}$ przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ definiuje się podprzestrzeń generowaną przez zbiór ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mathrm {lin} \,A}$ (inne symbole: ${\displaystyle \mathrm {span} \,A,\;\langle A\rangle }$), jako zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru ${\displaystyle A,}$ tj.

${\displaystyle \mathrm {lin} \,A={\big \{}c_{1}\mathbf {v} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {v} _{k}\colon c_{i}\in K,\;\mathbf {v} _{i}\in A,i\leqslant k,\;k\in \mathbb {N} \}.}$

Zbiór ${\displaystyle \mathrm {lin} \,A}$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\displaystyle V;}$ jest to najmniejsza (w sensie zawierania) podprzestrzeń liniowa przestrzeni ${\displaystyle V,}$ która zawiera zbiór ${\displaystyle A}$^[2]. Zbiór ${\displaystyle A}$ nazywany jest zbiorem generującym albo zbiorem rozpinającym podprzestrzeń ${\displaystyle \mathrm {lin} \,A,}$ a przestrzeń ${\displaystyle \mathrm {lin} \,A}$ podprzestrzenią generowaną albo rozpiętą przez zbiór ${\displaystyle A}$ bądź także otoczką liniową albo powłoką liniową zbioru ${\displaystyle A.}$

Jeżeli zbiór ${\displaystyle A}$ generuje przestrzeń ${\displaystyle V,}$ to nie musi być on jej bazą – np. przestrzeń ${\displaystyle V}$ jest generowana przez samą siebie. Dla zbioru ${\displaystyle A\neq \{0\}}$ generującego przestrzeń ${\displaystyle V}$ następujące warunki są równoważne

1. zbiór ${\displaystyle A}$ jest bazą przestrzeni ${\displaystyle V,}$
2. zbiór ${\displaystyle A}$ jest liniowo niezależny,
3. każdy wektor przestrzeni ${\displaystyle V}$ można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru ${\displaystyle A}$^[11].

Przykłady

• Jeżeli ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni ${\displaystyle V,}$ to

${\displaystyle \mathrm {lin} \,A=A}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {lin} \,(A\cup B)=A+B.}$

• Podprzestrzeń przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ generowana przez zbiór ${\displaystyle \{[1,3]\}}$ opisana jest w drugim z przykładów.

Przypisy

Bibliografia

• Sheldon Axler: Linear Algebra Done Right. Wyd. 2. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer, 1997.
• Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Wyd. 5. PWN, 2006. ISBN 83-01-14388-6.
• Steven Roman: Advanced Linear Algebra. Wyd. 2. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, seria: Graduate Texts in Mathematics 135. ISBN 978-0-387-24766-3. (ang.)

Literatura dodatkowa

• Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry. Cz. 2: Algebra liniowa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.