Podstawa logarytmu naturalnego

Podstawa logarytmu naturalnego, liczba , liczba Eulera, liczba Neperastała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459[1], oznacza się ją literą [2].

Definicja

Liczba może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

Granica ciągu

Jako granica ciągu, jest określana przez

Dowód zbieżności

Wykażemy, że ciąg gdzie jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.

Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:

(1)

Rozważając oraz otrzymujemy

a stąd

więc również i

Czyli ciąg jest niemalejący.

Podłóżmy i zauważmy, że

Z nierówności (1) zastosowanej do oraz otrzymujemy, że:

Stąd a więc też

Czyli ciąg jest niemalejący. Ponieważ to możemy wywnioskować że ciąg jest nierosnący, a stąd

Ciąg jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez ), a więc jest zbieżny.

Suma szeregu

Jako suma szeregu, jest określana przez

gdzie jest silnią liczby

Za pomocą całki

Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1

Liczbę można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:

(to znaczy, że liczba to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą od 1 do jest równe 1).

Za pomocą funkcji

Wykres funkcji

Liczbę można również zdefiniować jako taki argument funkcji

dla którego jej wartość jest największa.

Własności

Wzory na obliczenie e

Granice ciągów

(oba to tzw. wzory Stirlinga)

gdzie to podsilnia, definiowana kombinatorycznie jako liczba nieporządków zbioru –elementowego, algebraicznie zaś jako

Szeregi nieskończone

Iloczyny nieskończone

W 1980 roku, Nick Pippenger udowodnił wzór[4][5]

gdzie n!!, to silnia podwójna.

Kultura e

W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym e:

„We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!”

Gdzie znak „!” oznacza cyfrę 0.

Inne interpretacje liczby e

Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy czyli złotych.

Dowód niewymierności e

Używamy -tego przybliżenia , które zapisujemy

Szacujemy błąd

Z tego wynika, że gdzie

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:

Załóżmy, że jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci gdzie

W tym wzorze bierzemy tak duże żeby było większe od

Wówczas:

Mnożąc stronami przez dostajemy:

  więc  

  więc  

Zostały same liczby całkowite poza która całkowita nie jest.

To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że „ jest wymierne”.

Zobacz też

Przypisy

  1. Ciąg A001113 w On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  2. e, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-29].
  3. Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. C. R. Acad. Sci. Paris 77, 1873, s. 18–24, 74–79, 226–233.
  4. Eric W. Weisstein, Pippenger Product, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2013-02-27] (ang.).
  5. Nick Pippinger. An Infinite Product for e. „Amer. Math. Monthly”. 87 (V), s. 391, maj 1980. (ang.). 

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie

Hyperbola E.svg
(c) Cronholm144 z angielskiej Wikipedii, CC-BY-SA-3.0
made svg version of Silly Rabbit's
Xth root of x.svg
A graph of , noting the global maximum at e.