Pokrycie zbioru

Pokryciem zbioru ${\displaystyle Y,}$ który jest zawarty w przestrzeni ${\displaystyle X,}$ nazywa się dowolną rodzinę zbiorów ${\displaystyle (U_{s})_{s\in S}}$ zawartych w ${\displaystyle X,}$ taką że zbiór ${\displaystyle Y}$ jest zawarty w sumie elementów tej rodziny, tj. ${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{s\in S}U_{s}.}$ Zbiór ${\displaystyle S}$ jest zbiorem indeksów

Uwaga: Często w definicji pokrycia żąda się, aby ${\displaystyle Y=\bigcup _{s\in S}U_{s}.}$ Dalej będziemy zakładać ten warunek.

Definicje

Pojęcie pokrycia często jest używane w kontekście topologii^[1].

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ jest przestrzenią topologiczną.

Definicja pokrycia otwartego

Pokrycie ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq 2^{X}}$ nazywa się pokryciem otwartym, gdy każdy element ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ jest zbiorem otwartym, tj.

${\displaystyle \bigwedge _{C\in {\mathcal {C}}}\;C\in \tau .}$

Definicja pokrycia domkniętego

Pokrycie ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq 2^{X}}$ nazywa się pokryciem domkniętym, gdy każdy element ${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$ jest zbiorem domkniętym, tj.

${\displaystyle \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\;X\setminus D\in \tau .}$

Pokrycia wpisane i podpokrycia

Niech ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S},{\mathcal {B}}=(B_{t})_{t\in T}}$ będą pokryciami zbioru ${\displaystyle X.}$

Pokrycie ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ nazywa się pokryciem wpisanym w pokrycie ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ jeśli

${\displaystyle \bigwedge _{s\in S}\bigvee _{t_{s}\in T}A_{s}\subseteq B_{t_{s}}.}$

Pokrycie ${\displaystyle {\mathcal {A}}'=(A'_{s})_{s\in S'}}$ nazywa się podpokryciem pokrycia ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S},}$ jeśli

${\displaystyle S'\subset S\wedge [s\in S'\Rightarrow A_{s}'=A_{s}].}$

Każde podpokrycie danego pokrycia jest w nie wpisane.

Definicja pokrycia skończonego

Pokrycie ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S}}$ nazywa się skończonym, jeśli ${\displaystyle S}$ jest zbiorem skończonym (typowo wówczas ${\displaystyle S=\{1,2,\dots n\}}$ dla pewnego naturalnego ${\displaystyle n}$).

Zobacz też

• podział zbioru
• przestrzeń zwarta
• rodzina lokalnie skończona
• rodzina punktowo skończona

Przypisy