Pole tensorowe

Pole tensorowepole, które każdemu punktowi przestrzeni -wymiarowej przypisuje pewien tensor[1]. Pole tensorowe jest opisywane przez funkcji o zmiennych, gdzie – rząd tensora, czyli liczba jego indeksów.

Oznaczenia pól tensorowych

Funkcje, za pomocą których opisuje się pole tensorowe, zazwyczaj oznacza się symbolami z ciągiem indeksów, np. w postaci

gdzie – jest rzędem tensora. Liczba funkcji wynosi

Wartości funkcji pola tensorowego w danym punkcie przy ustalonych wartościach indeksów nazywa się współrzędnymi tensora w tym punkcie.

Np. w przestrzeni -wymiarowej tensor 2. rzędu jest reprezentowany przez zespół funkcji postaci które mają indeksy; funkcje te reprezentuje się zazwyczaj za pomocą macierzy

a np. wartość jest współrzędną 1,2 tensora w punkcie

Szczególne przypadki pól tensorowych

  • pola skalarne – pola, które punktom przestrzeni przypisują pojedyncze liczby (tensor zerowego rzędu jest skalarem)
  • pola wektorowe – pola, które punktom przestrzeni przypisują wielkości wektorowe (tensor pierwszego rzędu jest wektorem)

Twierdzenia

Tw. 1: Pole gradientu pola skalarnego jest polem wektorowym.

Tw. 2: Pole pochodnych cząstkowych pola wektorowego jest polem tensorowym (w niekrzywoliniowym układzie współrzędnych).

Zobacz też

Zagadnienia związane z pojęciem pola tensorowego

Przykłady tensorów

Przypisy

  1. pole tensorowe, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-10-04].

Bibliografia

  • P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1958.
  • T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974.