Pole wektorowe

Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni
Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni

Pole wektorowefunkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową[1]. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

Definicja pola wektorowego

Niech będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta [a]. Elementy produktu nazywamy polami wektorowymi.

Rodziną fundamentalną pól -mierzalnych nazywamy rodzinę spełniającą warunki:

  1. funkcja jest -mierzalna dla
  2. [b] dla każdego

Pole wektorowe

nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje -mierzalne.

Pola -mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu [c].

Przykłady pól wektorowych

Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:

Teoretycznym badaniem pól fizycznych zajmuje się dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.

Operacje różniczkowe na polach wektorowych

Dywergencja pola

Dywergencją pola wektorowego określonego w punktach przestrzeni nazywa się pole skalarne równe sumie odpowiednich pochodnych cząstkowych, obliczonych na składowych wektora

Pole skalarne będące dywergencją pola wektorowego jest różne od zera w punktach, gdzie są źródłami pola wektorowego (np. pole elektrostatyczne ma dywergencję różną od zera w punktach, gdzie znajdują się ładunki elektryczne). Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Dywergencja.

Rotacja pola

Rotacją pola wektorowego nazywa się pole wektorowe takie że

Rotacja przypisuje polu wektorowemu inne pole wektorowe. Jeśli rotacja jest różne od zera w punkcie to oznacza że wokół tego punktu pole wektorowe wiruje.

Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Rotacja.

Zobacz też

Uwagi

  1. Dokładniej rodzinę przestrzeni Hilberta
  2. Zob. podprzestrzeń liniowa.
  3. Produkt przestrzeni liniowych jest przestrzenią liniową.

Przypisy

  1. pole wektorowe, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-10-03].

Literatura

Media użyte na tej stronie