Postać Jordana

Postać Jordana macierzy – macierz w specjalnej, prawie przekątniowej, postaci związana z daną macierzą przez przejście odpowiadające zmianie bazy. Nazwa była wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Camille’a Jordana^[1].

Postać Jordana kwadratowej macierzy A to przedstawienie

${\displaystyle A=PJP^{-1},}$

gdzie:

• A – dana macierz,
• P – pewna macierz nieosobliwa, której niektórymi kolumnami są wektory własne macierzy A,
• J – szukana macierz Jordana.

Żądamy, by macierz Jordana była w szczególnej postaci. Na diagonali miała klatki (zwane klatkami Jordana), czyli

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}J_{1}&0&\cdots &0\\0&J_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&J_{n}\end{pmatrix}}.}$

Zaś każda klatka Jordana ma daną wartość własną na diagonali i liczbę 1 ponad nią^[2]:

${\displaystyle J_{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{k}&1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda _{k}&1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda _{k}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda _{k}&1\\0&0&0&0&0&\lambda _{k}\end{pmatrix}}.}$

Każdej klatce Jordana odpowiada dokładnie jeden wektor własny, ale może istnieć kilka klatek Jordana o tej samej wartości własnej.

Wymiar pojedynczej klatki jest z przedziału ${\displaystyle \{1,2,...,N\},}$ gdzie N to wymiar macierzy A.

Macierz Jordana to macierz trójkątna górna. Można równie dobrze umówić się, że macierze Jordana są dolnotrójkątne (jedynki są poniżej diagonali), jednak historycznie przyjęto używać macierzy górnotrójkątnych.

Rozkład Jordana

Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy A w postaci iloczynu trzech macierzy

${\displaystyle A=PJP^{-1},}$

przy oznaczeniach jak z początku artykułu.

Twierdzenie Jordana mówi, że nad ciałem algebraicznie domkniętym taki rozkład zawsze istnieje.

Zastosowania

Podobieństwo

Dwie macierze A i B są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą postać Jordana. Pokażemy implikację w jedną stronę.

${\displaystyle P_{A}^{-1}AP_{A}=J=P_{B}^{-1}BP_{B},}$

co daje

${\displaystyle A=P_{A}P_{B}^{-1}BP_{B}P_{A}^{-1}.}$

Potęgowanie macierzy

Stosunkowo łatwo jest podnosić do potęgi macierz kwadratową w postaci Jordana.

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{m}&=(PJP^{-1})^{m}=\overbrace {PJP^{-1}PJP^{-1}\dots PJP^{-1}} ^{m}\\&=PJ^{m}P^{-1}=P\operatorname {diag} (J_{1}^{m},J_{2}^{m},\dots ,J_{n}^{m})P^{-1}\end{aligned}}}$

Twierdzenie

Twierdzenie Jordana – twierdzenie algebry liniowej o istotnym znaczeniu w teorii równań różniczkowych. Sformułowane przez francuskiego matematyka Camille Jordana.

Załóżmy, że ${\displaystyle V}$ jest skończeniewymiarową przestrzenią liniową nad ciałem algebraicznie domkniętym ${\displaystyle F}$ (w szczególności, ciałem liczb zespolonych) oraz ${\displaystyle \varphi }$ jest endomorfizmem tej przestrzeni. Wówczas istnieje baza przestrzeni ${\displaystyle V}$ w której ${\displaystyle \varphi }$ ma macierz w postaci macierzy klatkowej

${\displaystyle J=\left[{\begin{matrix}A_{1}&0&0&0&\cdots &0\\0&A_{2}&0&0&\cdots &0\\0&0&A_{3}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&A_{k-1}&0\\0&0&0&0&0&A_{k}\end{matrix}}\right],}$

gdzie każda macierz ${\displaystyle A_{i}}$ jest postaci

${\displaystyle A_{i}=\left[{\begin{matrix}\lambda _{i}&1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda _{i}&1\\0&0&0&0&0&\lambda _{i}\end{matrix}}\right],\quad \lambda _{i}\in F,\;i\in \{1,\dots ,k\}.}$

Macierz ${\displaystyle A_{i}}$ nazywamy klatką Jordana. Elementy diagonalne ${\displaystyle \lambda _{i}}$ są wartościami własnymi endomorfizmu ${\displaystyle \varphi .}$ Liczba wystąpień danej liczby ${\displaystyle \lambda }$ na przekątnej macierzy nazywana jest krotnością wartości własnej ${\displaystyle \lambda .}$

Zobacz też

• diagonalizacja
• postać Frobeniusa
• rozkład macierzy
• rozkład według wartości osobliwych

Przypisy

Bibliografia

• Tadeusz Koźniewski: Wykłady z algebry liniowej II. Przestrzenie afiniczne i euklidesowe. Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2006.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Jordan Canonical Form, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Jordan matrix (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-07].