Potęgi kroczące

Potęgi kroczące – symbole wykorzystywane w kombinatoryce do oznaczania pewnych specyficznych wielomianów. Są dwa rodzaje potęg kroczących.

Silnia górna

Symbolem silni górnej jest:

${\displaystyle x^{\overline {m}}}$

Powyższy symbol czyta się jako "x do m-tej przyrastającej" i oznacza wielomian postaci:

${\displaystyle x^{\overline {m}}=x(x+1)\ldots (x+m-1)={\frac {(x+m-1)!}{(x-1)!}}\ \ m\in \mathbb {N} ,x\in \mathbb {C} }$

wyrażenie po prawej ma m czynników.

Silnia dolna

Symbolem silni dolnej jest:

${\displaystyle x^{\underline {m}}}$

Powyższy symbol czyta się jako "x do m-tej ubywającej" i oznacza wielomian postaci:

${\displaystyle x^{\underline {m}}=x(x-1)\ldots (x-m+1)\ ={\frac {x!}{(x-m)!}}\ m\in \mathbb {N} ,x\in \mathbb {C} }$

wyrażenie po prawej ma m czynników.

Dla wykładników mniejszych od 0 silnię dolną definiuje się jako:

${\displaystyle x^{\underline {-m}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\ldots (x+m)}}\ \ m\in \mathbb {N} ,x\in \mathbb {C} }$

Własności

• ${\displaystyle x^{\underline {m+n}}=x^{\underline {m}}(x-m)^{\underline {n}}\ \ m,n\in \mathbb {Z} ,x\in \mathbb {C} }$

Zobacz też

• liczby Stirlinga