Potencjał magnetyczny

Potencjał magnetyczny – matematyczny sposób na zdefiniowanie pola magnetycznego w elektrodynamice klasycznej. Jest on analogiczny do potencjału elektrycznego, który definiuje pole elektryczne w elektrostatyce. Podobnie jak w przypadku potencjału elektrycznego potencjał magnetyczny nie jest bezpośrednio obserwowalny – mierzalne jest jedynie pole które opisuje. Są dwa sposoby na zdefiniowanie tego potencjału – jako potencjał skalarny lub jako potencjał wektorowy, który jest wykorzystywany częściej.

Magnetyczny potencjał wektorowy

Magnetyczny potencjał wektorowy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ jest trójwymiarowym polem wektorowym, którego rotacja jest polem magnetycznym

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

Pole magnetyczne jest bezźródłowe (to znaczy ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,}$ co wynika z prawa Gaussa), co pociąga za sobą istnienie tak zdefiniowanego potencjału ${\displaystyle \mathbf {A} }$ na podstawie twierdzenia Helmholtza.

Pole elektryczne dla potencjałów zależnych od czasu można zapisać w postaci

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$

gdzie ${\displaystyle \Phi }$ jest potencjałem elektrycznym.

Wykorzystując powyższe definicje

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\nabla \times \left(-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {A} )=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},}$

można zauważyć, że dwa równania Maxwella dla pola magnetycznego są spełnione tożsamościowo.

Powyższe definicje nie definiują magnetycznego potencjału wektorowego jednoznacznie, gdyż, z definicji, możemy dodać dowolne bezwirowe pole wektorowe do potencjału magnetycznego bez zmiany obserwowanego pola magnetycznego. Istnieje zatem pewna swoboda w wyborze ${\displaystyle \mathbf {A} ,}$ który jest określony z dokładnością do przekształcenia cechowania.

W systemie SI, jednostką A jest V·s·m⁻¹.

W mechanice klasycznej i kwantowej, potencjał wektorowy wchodzi do hamiltonianu opisującego cząstkę:

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)^{2}.}$

Przykład – potencjał wektorowy dla jednorodnego pola magnetycznego

Np. potencjałem wektorowym dla jednorodnego pola magnetycznego w dowolnym kierunku przestrzennym ${\displaystyle \mathbf {B} }$ jest

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mathbf {B} \times \mathbf {r} }{2}}.}$

Używając tożsamości upraszczającej dla rotacji iloczynu wektorowego pól wektorowych, możemy to sprawdzić otrzymując

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\nabla \times \left({\frac {\mathbf {B} \times \mathbf {r} }{2}}\right)={\frac {1}{2}}[(\nabla \cdot \mathbf {r} )+\mathbf {r} \cdot \nabla ]\mathbf {B} -{\frac {1}{2}}[(\nabla \cdot \mathbf {B} )+\mathbf {B} \cdot \nabla ]\mathbf {r} ={\frac {3}{2}}\mathbf {B} +0-0-{\frac {\mathbf {B} }{2}}=\mathbf {B} ,}$

gdzie dużo składników znika ponieważ wektor ${\displaystyle \mathbf {B} }$ jest stały.

Skalarny potencjał magnetyczny

Skalarny potencjał magnetyczny ${\displaystyle \mathbf {\psi } }$ jest prostszy od potencjału wektorowego, jednak można go używać jedynie w obszarach jednospójnych, w których nie występują prądy. Definiuje go równanie

${\displaystyle \mathbf {B} =-\mu _{0}\nabla \mathbf {\psi } .}$

Korzystając z prawa Ampera, dostajemy

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \times \mathbf {B} =-\nabla \times \nabla \mathbf {\psi } =0.}$

Aby spełnione było prawo Gaussa, musi być spełnione równanie różniczkowe Laplace’a

${\displaystyle \triangle \mathbf {\psi } =0.}$

Bibliografia

• David J Griffiths: Podstawy elektrodynamiki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14375-4.