Prędkość grupowa

Prędkość grupowa – wielkość opisująca rozchodzenie się fal nieharmonicznych (innych niż sinusoidalne), w sytuacji, gdy natężenie fali nie wpływa na prędkość jej ruchu. Inaczej, prędkość grupowa to prędkość rozchodzenia się modulacji zwykle odpowiadająca prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę.

Dla fal rozprzestrzeniających się bez zmiany kształtu impulsu falowego odpowiada prędkości rozchodzenia się impulsu i prędkości rozchodzenia się czoła fali.

Dla fal prawie harmonicznych, opisanych jako fala harmoniczna o zmieniającej się amplitudzie, prędkość rozchodzenia się grzbietów modulacji, czyli prędkość grupową określa wzór:

Fala o prędkości grupowej mniejszej od prędkości fazowej. Czerwony punkt porusza się z prędkością fazową, a zielony z prędkością grupową.

${\displaystyle v_{g}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}},}$

gdzie:

${\displaystyle v_{g}}$ – prędkość grupowa,

${\displaystyle \omega }$ – częstość kątowa drgań fali,

${\displaystyle k}$ – wektor falowy.

Pojęcie prędkość grupowa wprowadzono w celu odróżnienia od prędkości przemieszczania się grzbietów fali nazywanej prędkością fazową, która pojawia się m.in. w prawie załamania światła.

W próżni prędkość grupowa światła jest równa prędkości fazowej i jest równa prędkości światła w próżni. W ośrodkach materialnych prędkość grupowa światła jest zwykle mniejsza od prędkości światła w próżni, lecz może być większa, a nawet ujemna (dla metamateriałów o ujemnym współczynniku załamania). Większa wartość prędkości grupowej od prędkości światła w próżni nie stoi w sprzeczności ze szczególną teorią względności, gdyż prędkość grupowa w takich przypadkach nie jest szybkością rozprzestrzeniania się fali, a tym samym i przenoszenia sygnałów.

W ośrodkach dyspersyjnych prędkość grupowa jest różna od prędkości fazowej. Natomiast w ośrodkach, w których amplituda fali wpływa na szybkość jej przemieszczania się nie wprowadza się pojęcia prędkości grupowej.

Pojęcia prędkości grupowej i fazowej wprowadził William Rowan Hamilton w 1839 roku.

W mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej, zgodnie z hipotezą de Broglie’a, każdej cząstce odpowiada paczka fal zespolonych zwanych falami materii, dla tych fal:

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (p/\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial p}},}$

gdzie:

${\displaystyle E}$ – energia kinetyczna cząstki,

${\displaystyle p}$ – pęd tej cząstki,

${\displaystyle \hbar }$ – stała Diraca.

Używając mechaniki relatywistycznej, stwierdza się że:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}\right)={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {\gamma mvc^{2}}{\sqrt {{\gamma }^{2}m^{2}v^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}={\frac {\gamma vc}{\sqrt {{\gamma }^{2}v^{2}+c^{2}}}}=v,\end{aligned}}}$

gdzie:

${\displaystyle c}$ – prędkość światła w próżni,

${\displaystyle \gamma }$ – czynnik Lorentza.

Wynik ten oznacza, że bez względu na masę cząstki, jej prędkość i inne parametry, prędkość grupowa fali materii odpowiada prędkości ruchu cząstki, co jest zgodne z oczekiwaniami.

Wzór na prędkość grupową

Fala modulowana może być przedstawiona jako suma dwóch fal o różnych i niewiele różniących się częstościach. Przyjmując, że fazy początkowe obu fal są równe zero, różnica ich faz wynosi:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{1}(z,t)-\phi _{2}(z,t)=(\omega _{1}t-k_{1}z)-(\omega _{2}t-k_{2}z).}$

Fale wzmacniają się, gdy mają jednakowe fazy, oznacza to, że by poruszać się z prędkością rozchodzenia się wzmocnienia trzeba poruszać się z jego prędkością grupową, czyli dla takiej samej fazy. Wynika z tego, że różniczka powyższego wyrażenia jest równa zero:

${\displaystyle (\omega _{1}dt-k_{1}dz)-(\omega _{2}dt-k_{2}dz)=(\omega _{1}-\omega _{2})dt-(k_{1}-k_{2})dz=0.}$

Prędkość jest równa ${\displaystyle {\tfrac {dz}{dt}},}$ czyli:

${\displaystyle v_{g}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}={\frac {d\omega }{dk}}.}$

Związek z prędkością fazową

Między prędkością grupową ${\displaystyle v_{g}}$ a fazową ${\displaystyle v_{p}}$ istnieją zależności:

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v_{\mathrm {p} }+k\cdot {\frac {dv_{\mathrm {p} }}{dk}}}$

lub^[1]:

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v_{\mathrm {p} }-\lambda \cdot {\frac {dv_{\mathrm {p} }}{d\lambda }}.}$

Z zależności tych wynika, że fala ulega dyspersji, gdy prędkość fazowa zależy od długości fali ${\displaystyle \lambda }$ (liczby falowej), natomiast gdy prędkość fazowa nie zależy od długości fali, to fala nie ulega dyspersji.

Wyprowadzenie zależności

Z definicji prędkości fazowej ${\displaystyle v_{p}}$ wynika:

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}=\lambda \cdot f.}$

Związki dla wielkości opisujących fale: długość fali ${\displaystyle \lambda ,}$ częstotliwość ${\displaystyle f{:}}$

${\displaystyle \omega =2\pi f,}$

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }},}$

${\displaystyle \omega =v_{\mathrm {p} }k,}$

to

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dk}}={\frac {d}{dk}}v_{\mathrm {p} }k=v_{\mathrm {p} }{\frac {dk}{dk}}+k{\frac {dv_{\mathrm {p} }}{dk}}}$

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v_{\mathrm {p} }+k\cdot {\frac {dv_{\mathrm {p} }}{dk}}}$

oraz

${\displaystyle {\frac {d}{dk}}={\frac {d}{d\lambda }}\cdot {\frac {d\lambda }{dk}}\quad {}}$ i ${\displaystyle {}\quad {\frac {d\lambda }{dk}}={\frac {d{\frac {2\pi }{k}}}{dk}}=-{\frac {2\pi }{k^{2}}}}$

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v_{\mathrm {p} }-\lambda \cdot {\frac {dv_{\mathrm {p} }}{d\lambda }}}$

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Subluminal – animacja obrazująca różnicę między prędkością grupową i fazową
• Group and Phase Velocity. publicliterature.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2006-08-13)]. – aplet javy.