Prędkość kątowa

Prędkość kątowa

Prędkość kątowa jest wielkością wektorową ${\displaystyle \omega ,}$ której kierunek pokrywa się z osią obrotu, a zwrot jest zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

Prędkość kątowa – wielkość wektorowa opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu) ciała. Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu ciała i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej^[1].

Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt ${\displaystyle \theta }$ to wartość prędkości kątowej ${\displaystyle \omega }$ jest równa^[2]:

${\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}.}$

Jednostką prędkości kątowej w układzie SI jest radian na sekundę^[3]:

${\displaystyle \omega =\left[\mathrm {\frac {rad}{s}} \right].}$

Związek z liniowymi wielkościami kinematycznymi

Jeżeli ciało porusza się po okręgu, to obróciwszy się o kąt ${\displaystyle \theta ,}$ zakreśli łuk o długości^[4]:

${\displaystyle s=\theta r.}$

Zależność chwilowej prędkości liniowej ${\displaystyle v}$ ciała poruszającego się po okręgu o promieniu ${\displaystyle r}$ od chwilowej prędkości kątowej ${\displaystyle \omega }$ tego ciała dana jest wzorem^[4]:

${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}={\frac {d\theta r}{dt}}=\omega r,}$

gdzie ${\displaystyle s}$ jest długością łuku zakreślanego w czasie ${\displaystyle t.}$

Różniczkując powyższy związek względem czasu:

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=r{\frac {d\omega }{dt}},}$

${\displaystyle a_{t}=r\varepsilon ,}$

gdzie ${\displaystyle a_{t}}$ to przyspieszenie styczne ciała, a ${\displaystyle \varepsilon }$ to przyspieszenie kątowe^[4].

Zmiana kierunku ruchu punktu poruszającego się po okręgu wywołuje przyspieszenie dośrodkowe zwane też radialnym^[4]:

${\displaystyle a_{r}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r.}$

Zapis wektorowy

W zapisie wektorowym prędkość kątowa zdefiniowana jest następująco^[5]:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {r} |^{2}}},}$

co odpowiada:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ,}$

czyli jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego ciała poruszającego się ruchem obrotowym i jego prędkości liniowej (chwilowej). Stąd pochodzą wszystkie jej wyżej wymienione własności.

Przyspieszenie kątowe:

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {d\omega }{dt}}.}$

Jeżeli nie zmienia się promień ruchu ciała, to przyspieszenie liniowe:

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a_{t}} +\mathbf {a_{r}} ,}$

${\displaystyle \mathbf {a_{t}} =\varepsilon \times \mathbf {r} ,}$

${\displaystyle \mathbf {a_{r}} =\omega \times \mathbf {v} .}$

Zobacz też

• prędkość obrotowa
• przyspieszenie kątowe
• pulsacja

Przypisy

Bibliografia

• Robert Resnick, David Halliday: Podstawy fizyki. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-09323-4.