Prędkość ucieczki

Prędkość ucieczki (zwana też drugą prędkością kosmiczną^[2] oznaczana ${\displaystyle V_{II}}$) ciała niebieskiego – minimalna prędkość początkowa (startowa), jaką musi mieć obiekt, aby mógł opuścić pole grawitacyjne danego ciała niebieskiego, tj. aby trajektoria jego ruchu była krzywą otwartą (hiperbolą lub parabolą).

Po wystartowaniu obiektu z prędkością równą prędkości ucieczki nie trzeba w dalszym ciągu dostarczać energii w celu podtrzymania ruchu (z wyjątkiem energii na pokonanie oporów ruchu, np. oporu atmosfery czy materii międzygwiezdnej), gdyż w miarę oddalania się obiektu od ciała niebieskiego wartość prędkości ucieczki maleje, dążąc do 0. Obiekt o początkowej prędkości równej prędkości ucieczki, pomimo ciągłego zmniejszania swojej prędkości wynikającego z poruszania się ruchem opóźnionym, w każdej chwili będzie miał prędkość równą prędkości ucieczki dla aktualnej odległości od ciała niebieskiego.

W praktyce prędkość startowa powinna być większa niż prędkość ucieczki lub powinno się dostarczać dodatkową energię w trakcie ruchu pozwalającą na pokonanie oporów materii. Jeśli jednak uwzględni się ruch obrotowy planety wokół własnej osi, można, wystrzeliwując rakietę z obszarów okołorównikowych, wykorzystać energię kinetyczną ruchu obrotowego do zmniejszenia prędkości startowej, podobnie jak to ma miejsce przy wprowadzaniu satelity na orbitę wokół planety. Właśnie z tego powodu wszystkie kosmodromy na Ziemi lokowane są na małych szerokościach geograficznych. Stąd też, ponieważ Europa leży daleko od równika, Europejska Agencja Kosmiczna wystrzeliwuje swoje rakiety z terytorium Gujany Francuskiej.

Prędkość ucieczki dla grawitacji Ziemi z jej powierzchni wynosi 11,2 km/s.

Wyznaczanie prędkości ucieczki

Prędkość ucieczki wynika z zasady zachowania energii mechanicznej. Ciało oddali się dowolnie daleko od ciała niebieskiego, gdy ma odpowiednio dużą prędkość, tak by jego prędkość w nieskończoności była równa 0. Energia mechaniczna ciała poruszającego się w polu grawitacyjnym jest sumą jego energii kinetycznej i potencjalnej oddziaływania grawitacyjnego:

${\displaystyle E_{m}=E_{k}+E_{p},}$

gdzie:

${\displaystyle E_{m}}$ – energia mechaniczna,

${\displaystyle E_{k}}$ – energia kinetyczna,

${\displaystyle E_{p}}$ – energia potencjalna.

Energia kinetyczna opisana jest równaniem:

${\displaystyle E_{k}={\frac {mv^{2}}{2}},}$

Energię potencjalną wyraża wzór:

${\displaystyle E_{p}=-{\frac {GMm}{r}},}$

Z powyższych wzorów, po zastosowaniu zasady zachowania energii:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2}}v_{I}=c{\sqrt {{\frac {2GM}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}}}=c{\sqrt {\frac {r_{g}}{r}}},}$

gdzie:

${\displaystyle v}$ – prędkość początkowa obiektu będącego w odległości ${\displaystyle r}$ od środka ciała odniesienia,

${\displaystyle v_{I}}$ – pierwsza prędkość kosmiczna,

${\displaystyle r_{g}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$ – promień Schwarzschilda,

${\displaystyle m}$ – masa,

${\displaystyle v}$ – prędkość,

${\displaystyle G}$ – stała grawitacji,

${\displaystyle M}$ – masa ciała odniesienia,

${\displaystyle r}$ – odległość od środka ciała odniesienia.

Dla przykładu prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi można obliczyć, wiedząc, że:

${\displaystyle r=6378{,}14{\text{ km}},}$

${\displaystyle M=5{,}9736\cdot 10^{24}{\text{ kg}},}$

${\displaystyle G=6{,}6732(31)\cdot 10^{-11}{\text{ m}}^{3}{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}.}$

Z powyższych wzorów i danych ciał niebieskich wynika:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\cdot 6{,}6732(31)\cdot 10^{-11}{\text{ m}}^{3}{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}\cdot 5{,}9736\cdot 10^{24}{\text{ kg}}}{6378140{\text{ m}}}}}=11{,}2{\frac {\text{km}}{\text{s}}}.}$

Gdy rozmiar ciała ${\displaystyle r}$ będzie równy promieniowi Schwarzschilda, prędkość ucieczki z niego będzie równa prędkości światła w próżni. Ciało takie nazywamy czarną dziurą.

Pierwszy raz drugą prędkość kosmiczną obliczył Izaak Newton.

Zobacz też

• prędkość kosmiczna

Przypisy