Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia ${\displaystyle A}$ pod warunkiem zajścia zdarzenia ${\displaystyle B}$ (o dodatnim prawdopodobieństwie) – liczba

${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}},}$

tj. iloraz prawdopodobieństwa części wspólnej zdarzeń ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ oraz prawdopodobieństwa zdarzenia ${\displaystyle B}$^[1].

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Przy ustalonym zdarzeniu ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$ o dodatnim prawdopodobieństwie, prawdopodobieństwo warunkowe ${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid B)}$ jest zwykłym prawdopodobieństwem na

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{B}=\{A\cap B\colon B\in {\mathcal {F}}\},}$

stąd bywa oznaczane czasem symbolem ${\displaystyle \mathbb {P} _{B}(A)}$^[1].

Przykłady

Przykład 1

Mamy dwie urny – w pierwszej są same białe kule, w drugiej same czarne. Najpierw wybieramy losowo urnę, a później losujemy kolejno dwie kule.

Niech:

${\displaystyle A}$ oznacza zdarzenie, że pierwsza kula jest biała,

${\displaystyle B}$ oznacza zdarzenie, że druga kula jest biała.

Wybór urny determinuje wybór koloru kul. Zatem jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie ${\displaystyle A,}$ to druga wylosowana kula także będzie biała. W takim razie prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia ${\displaystyle B}$ pod warunkiem zajścia zdarzenia ${\displaystyle A,}$ oznaczane przez ${\displaystyle \mathbb {P} (B\mid A),}$ jest równe 1.

Przykład 2

Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek?

Niech ${\displaystyle A}$ oznacza zdarzenie, że nie wypadła szóstka, natomiast ${\displaystyle B}$ zdarzenie, że na każdej kostce wypadła inna liczba oczek.

Obliczamy:

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)={\frac {5\cdot 4\cdot 3}{\bar {\bar {\Omega }}}},}$

${\displaystyle \mathbb {P} (B)={\frac {6\cdot 5\cdot 4}{\bar {\bar {\Omega }}}}}$

Z definicji:

${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}={\frac {1}{2}}}$

Zdarzenia niezależne

Jeżeli zdarzenia ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ są niezależne, tj. ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B),}$ to ${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid B)=\mathbb {P} (A).}$

Zobacz też

• teoria prawdopodobieństwa
• twierdzenie Bayesa
• warunkowa wartość oczekiwana

Przypisy

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.