Prawo Biota-Savarta

Prawo Biota-Savarta – prawo stosowane w elektromagnetyzmie i dynamice płynów. Pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, której źródłem jest element przewodnika, przez który płynie prąd elektryczny^[1]. Oryginalna wersja została sformułowana dla pola magnetycznego.

W elektromagnetyzmie

Wyprowadzenie

Prawo Biota-Savarta dla pola magnetycznego można wyprowadzić z równań Maxwella lub z prawa Gaussa dla elektryczności i równań transformacji relatywistycznej pól elektrycznych i magnetycznych w szczególnej teorii względności^[2][3]:

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {r}},}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\vec {v}}{c^{2}}}\times {\vec {E}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}=\varepsilon _{0}\mu _{0}.}$

Połączenie powyższych wzorów określa pole magnetyczne wytwarzane przez poruszający się ładunek punktowy, co odpowiada polu wytwarzanemu przez prąd płynący w nieskończenie cienkim i krótkim przewodniku:

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {B}}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}\ q\ {\frac {{\vec {v}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}},}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {B}}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}\ I\ {\frac {\mathrm {d} {\vec {l}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}},}$

gdzie:

${\displaystyle q}$ – punktowy ładunek elektryczny,

${\displaystyle v}$ – prędkość ładunku ${\displaystyle q.}$

Przyczynek ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {B}}}$ do pola indukcji magnetycznej w danym punkcie A od elementu długości ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {l}}}$ przewodnika z prądem o natężeniu ${\displaystyle I.}$

Sposób wyznaczania kierunku i zwrotu indukcji magnetycznej

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {B}}=K_{\mathrm {m} }{\frac {I\mathrm {d} {\vec {l}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}},}$

gdzie:

${\displaystyle K_{\mathrm {m} }={\frac {\mu _{0}\mu _{r}}{4\pi }}}$ (zob. Przenikalność magnetyczna),

${\displaystyle I}$ – natężenie prądu, wyrażone w amperach,

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {l}}}$ – skierowany element przewodnika; wektor o kierunku przewodnika, zwrocie odpowiadającym kierunkowi prądu i długości równej długości elementu przewodnika,

${\displaystyle {\hat {r}}}$ – wersor dla punktów wytwarzającego pole (elementu przewodnika) i miejsca pola,

${\displaystyle r}$ – odległość elementu przewodnika od punktu pola.

Inna postać wzoru:

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {\mathrm {d} {\vec {l}}\times {\vec {r}}}{|{\vec {r}}|^{3}}},}$

gdzie ${\displaystyle {\vec {r}}}$ to wektor wodzący o początku w źródle pola i końcu w rozważanym punkcie przestrzeni. Wartość indukcji magnetycznej może być obliczona ze wzoru

${\displaystyle \mathrm {d} B={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {\mathrm {d} l\sin \alpha }{r^{2}}}.}$

Przewodnik prostoliniowy

Niech przez prostoliniowy przewodnik o nieskończonej długości płynie prąd o natężeniu ${\displaystyle I.}$ Zapiszmy skalarną postać przyczynku do pola indukcji magnetycznej:

${\displaystyle \mathrm {d} B={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {\mathrm {d} l\sin \alpha }{r^{2}}}.}$

Ze wzoru tego można wyprowadzić prawo Grassmanna.

Nieskończony przewód można myślowo podzielić na dwa fragmenty. Górna „połowa” od wycinka ${\displaystyle \mathrm {d} l}$ przewodu do nieskończoności oraz dolna „połowa” w zakresie od minus nieskończoności do 0. Bez dowodu przyjmujemy, że obie „połowy” są sobie równe.

Aby otrzymać wartość indukcji magnetycznej ${\displaystyle B}$ w odległości ${\displaystyle r}$ od przewodnika o natężeniu ${\displaystyle I}$ całkujemy skalarny przyczynek do indukcji magnetycznej.

${\displaystyle B=2\int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {d} B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin \alpha \cdot \mathrm {d} l}{r^{2}}}}$

${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle l,}$ ${\displaystyle r}$ nie są niezależne, w związku z czym do obliczenia powyższej całki należy poszukać zależności, które je łączą.

Studiując ilustrację zawartą w artykule, można, wprowadzając zmienną ${\displaystyle R,}$ będącą najkrótszą odległością do przewodu, wypisać następujące związki:

${\displaystyle r={\sqrt {l^{2}+R^{2}}},}$

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {R}{\sqrt {l^{2}+R^{2}}}}.}$

Podstawiając powyższe zależności do całki, otrzymujemy ostateczną postać wzoru na indukcję magnetyczną:

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {R\mathrm {d} l}{(l^{2}+R^{2})^{1,5}}}={\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}.}$

Wzór ten jest słuszny w małej odległości od przewodnika lub w dowolnej odległości dla nieskończenie długiego przewodnika.

Przewodnik kołowy

W przypadku przewodnika o innej geometrii indukcję pola magnetycznego w dowolnym punkcie przestrzeni można otrzymać, całkując wzór Biota-Savarta po całej długości przewodnika. Na przykład w środku przewodnika kołowego o promieniu ${\displaystyle R}$ w próżni indukcję określa wzór:

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}I}{2R}}.}$

Rozciągły obszar z prądem

Wyżej przytoczony wzór jest prawdziwy dla cienkich przewodników z prądem, dla obszarów w których płynie prąd w dużych objętościach wzór przyjmuje postać:

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {B}}=K_{\mathrm {m} }{\frac {{\vec {j}}\times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}\mathrm {d} V,}$

gdzie:

${\displaystyle {\vec {j}}}$ – gęstość prądu,

${\displaystyle \mathrm {d} V}$ – element objętości.

Poruszający się ładunek

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {B}}=K_{\mathrm {m} }{\frac {\mathrm {d} q{\vec {v}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}},}$

gdzie:

${\displaystyle \mathrm {d} q}$ – przyczynek ładunku elektrycznego,

${\displaystyle {\vec {v}}}$ – prędkość ładunku.

Pole w danym punkcie

Całkowitą indukcję magnetyczną wyznacza się, całkując różniczkowe elementy indukcji ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {B}}}$ wzdłuż całego przewodnika – w pierwszym wzorze, a w całym obszarze, w którym płynie prąd, w drugim wzorze.

${\displaystyle {\vec {B}}=\int \mathrm {d} {\vec {B}}.}$

Wnioski

Wzór Biota-Savarta umożliwia obliczenie indukcji magnetycznej, gdy znane jest natężenie prądu, który jest źródłem pola magnetycznego (punkty tego pola są scharakteryzowane przez wektor indukcji, a wartość tego wektora określa wzór Biota-Savarta).

Wszystkie przyczynki do wektora indukcji pochodzące od elementów przewodnika mają w danym punkcie taki sam kierunek, który jest prostopadły do płaszczyzny, w której leży przewodnik i analizowany punkt. Dlatego linie pola magnetycznego mają kształt okręgów leżących w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika, środkami których jest przewodnik.

W mechanice płynów

Prawo Biota-Savarta ma swój odpowiednik mechanice płynów i określa przyczynek do prędkości płynu wytwarzanej (indukowanej) przez element strugi wirowej. Analogia obejmuje związki:

• przewodnik elektryczny – struga wirowa,
• natężenie prądu – cyrkulacja strugi,
• wytwarzane pole magnetyczne – uzyskiwana prędkość płynu.

Prawo można sformułować w postaci:

Prędkość indukowana ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {v}}}$ w wybranym punkcie A płynu przez element strugi wirowej o długości ${\displaystyle \mathrm {d} l}$ określa wzór:

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {v}}={\frac {\Gamma {\hat {r}}\times \mathrm {d} {\vec {l}}}{4\pi r^{2}}},}$

gdzie:

${\displaystyle \Gamma }$ – cyrkulacja strugi.

Na podstawie tego wzoru można obliczyć, jak wir wpływa na rozkład prędkości wokół niego. Przykładowo, długa prostoliniowa struga wytwarza (zmienia) prędkość płynu:

${\displaystyle v={\frac {\Gamma }{2\pi r}}.}$

Zobacz też

• Jean-Baptiste Biot
• Félix Savart
• prawo Ampère’a

Przypisy