Prawo Biota-Savarta

Prawo Biota-Savartaprawo stosowane w elektromagnetyzmie i dynamice płynów. Pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, której źródłem jest element przewodnika, przez który płynie prąd elektryczny[1]. Oryginalna wersja została sformułowana dla pola magnetycznego.

W elektromagnetyzmie

Wyprowadzenie

Prawo Biota-Savarta dla pola magnetycznego można wyprowadzić z równań Maxwella lub z prawa Gaussa dla elektryczności i równań transformacji relatywistycznej pól elektrycznych i magnetycznych w szczególnej teorii względności[2][3]:

Połączenie powyższych wzorów określa pole magnetyczne wytwarzane przez poruszający się ładunek punktowy, co odpowiada polu wytwarzanemu przez prąd płynący w nieskończenie cienkim i krótkim przewodniku:

gdzie:

– punktowy ładunek elektryczny,
– prędkość ładunku

Przyczynek do pola indukcji magnetycznej w danym punkcie A od elementu długości przewodnika z prądem o natężeniu

Sposób wyznaczania kierunku i zwrotu indukcji magnetycznej

gdzie:

(zob. Przenikalność magnetyczna),
– natężenie prądu, wyrażone w amperach,
– skierowany element przewodnika; wektor o kierunku przewodnika, zwrocie odpowiadającym kierunkowi prądu i długości równej długości elementu przewodnika,
wersor dla punktów wytwarzającego pole (elementu przewodnika) i miejsca pola,
– odległość elementu przewodnika od punktu pola.

Inna postać wzoru:

gdzie to wektor wodzący o początku w źródle pola i końcu w rozważanym punkcie przestrzeni. Wartość indukcji magnetycznej może być obliczona ze wzoru

Przewodnik prostoliniowy

Niech przez prostoliniowy przewodnik o nieskończonej długości płynie prąd o natężeniu Zapiszmy skalarną postać przyczynku do pola indukcji magnetycznej:

Ze wzoru tego można wyprowadzić prawo Grassmanna.

Nieskończony przewód można myślowo podzielić na dwa fragmenty. Górna „połowa” od wycinka przewodu do nieskończoności oraz dolna „połowa” w zakresie od minus nieskończoności do 0. Bez dowodu przyjmujemy, że obie „połowy” są sobie równe.

Aby otrzymać wartość indukcji magnetycznej w odległości od przewodnika o natężeniu całkujemy skalarny przyczynek do indukcji magnetycznej.

nie są niezależne, w związku z czym do obliczenia powyższej całki należy poszukać zależności, które je łączą.

Studiując ilustrację zawartą w artykule, można, wprowadzając zmienną będącą najkrótszą odległością do przewodu, wypisać następujące związki:

Podstawiając powyższe zależności do całki, otrzymujemy ostateczną postać wzoru na indukcję magnetyczną:

Wzór ten jest słuszny w małej odległości od przewodnika lub w dowolnej odległości dla nieskończenie długiego przewodnika.

Przewodnik kołowy

W przypadku przewodnika o innej geometrii indukcję pola magnetycznego w dowolnym punkcie przestrzeni można otrzymać, całkując wzór Biota-Savarta po całej długości przewodnika. Na przykład w środku przewodnika kołowego o promieniu w próżni indukcję określa wzór:

Rozciągły obszar z prądem

Wyżej przytoczony wzór jest prawdziwy dla cienkich przewodników z prądem, dla obszarów w których płynie prąd w dużych objętościach wzór przyjmuje postać:

gdzie:

gęstość prądu,
– element objętości.

Poruszający się ładunek

gdzie:

– przyczynek ładunku elektrycznego,
– prędkość ładunku.

Pole w danym punkcie

Całkowitą indukcję magnetyczną wyznacza się, całkując różniczkowe elementy indukcji wzdłuż całego przewodnika – w pierwszym wzorze, a w całym obszarze, w którym płynie prąd, w drugim wzorze.

Wnioski

Wzór Biota-Savarta umożliwia obliczenie indukcji magnetycznej, gdy znane jest natężenie prądu, który jest źródłem pola magnetycznego (punkty tego pola są scharakteryzowane przez wektor indukcji, a wartość tego wektora określa wzór Biota-Savarta).

Wszystkie przyczynki do wektora indukcji pochodzące od elementów przewodnika mają w danym punkcie taki sam kierunek, który jest prostopadły do płaszczyzny, w której leży przewodnik i analizowany punkt. Dlatego linie pola magnetycznego mają kształt okręgów leżących w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika, środkami których jest przewodnik.

W mechanice płynów

Prawo Biota-Savarta ma swój odpowiednik mechanice płynów i określa przyczynek do prędkości płynu wytwarzanej (indukowanej) przez element strugi wirowej. Analogia obejmuje związki:

  • przewodnik elektryczny – struga wirowa,
  • natężenie prądu – cyrkulacja strugi,
  • wytwarzane pole magnetyczne – uzyskiwana prędkość płynu.

Prawo można sformułować w postaci:

Prędkość indukowana w wybranym punkcie A płynu przez element strugi wirowej o długości określa wzór:

gdzie:

cyrkulacja strugi.

Na podstawie tego wzoru można obliczyć, jak wir wpływa na rozkład prędkości wokół niego. Przykładowo, długa prostoliniowa struga wytwarza (zmienia) prędkość płynu:

Zobacz też

Przypisy

Media użyte na tej stronie

Biot Savart.svg
Biot-Savart equation illustration. Rysunek do wzoru Biota-Savarta