Prawo Gaussa (elektryczność)

Prawo Gaussa dla elektryczności – prawo wiążące pole elektryczne z jego źródłem, czyli ładunkiem elektrycznym. Natężenie pola elektrycznego jest polem wektorowym i spełnia twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego:

Strumień natężenia pola elektrycznego, przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym środowisku o bezwzględnej przenikalności elektrycznej ${\displaystyle \varepsilon ,}$ jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności.

Prawo Gaussa w próżni

W ujęciu całkowym

Strumień ${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{E}}$ natężenia pola elektrycznego ${\displaystyle {\vec {E}},}$ przenikający przez zamkniętą powierzchnię ${\displaystyle S,}$ ograniczającą obszar o objętości ${\displaystyle V,}$ jest proporcjonalny do ładunku elektrycznego ${\displaystyle Q}$ zawartego w tym obszarze (objętości)^[1]:

${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{E}=\oint \limits _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \limits _{V}\rho \,\mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{o}}},}$

przy czym:

• wektor ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}}$ jest wektorem powierzchni,
• współczynnikiem proporcjonalności jest przenikalność elektryczna próżni ${\displaystyle \varepsilon _{0}.}$

W ujęciu różniczkowym

Dywergencja natężenia pola elektrycznego równa jest ilorazowi gęstości ładunku i przenikalności elektrycznej próżni:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},}$

przy czym:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}}$ – dywergencja natężenia pola elektrycznego,

${\displaystyle \rho }$ – gęstość ładunku,

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {0} }}$ – przenikalność elektryczna w próżni równa ${\displaystyle 8{,}854187817\ldots \cdot 10^{-12}\,\mathrm {\frac {F}{m}} .}$

Prawo Gaussa w materii

W materii pole elektryczne wywołuje przesunięcie ładunków elektrycznych, co skutkuje powstaniem ładunków zwanych ładunkami indukowanymi. Prawo Gaussa obowiązuje także w tej sytuacji, ale trzeba uwzględnić ładunki indukowane w ośrodku. Jest to podejście bardzo niewygodne w związku z czym uwzględnia się ten wkład za pomocą przenikalności elektrycznej materiału ośrodka:

${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{E}={\frac {Q_{\mathrm {sw} }+Q_{\mathrm {ind} }}{\varepsilon _{0}}}={\frac {Q_{\mathrm {sw} }}{\varepsilon _{\mathrm {r} }\varepsilon _{0}}}={\frac {Q_{\mathrm {sw} }}{\varepsilon }},}$

przy czym:

${\displaystyle Q_{\mathrm {sw} }}$ – ładunki swobodne objęte powierzchnią ${\displaystyle S,}$

${\displaystyle Q_{\mathrm {ind} }}$ – ładunki indukowane w ośrodku objęte powierzchnią ${\displaystyle S,}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}$ – względna przenikalność elektryczna ośrodka,

${\displaystyle \varepsilon }$ – przenikalność elektryczna ośrodka (bezwzględna).

W ujęciu różniczkowym prawo Gaussa można teraz zapisać jako

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}={\frac {\rho _{\mathrm {sw} }}{\varepsilon }},}$

w którym:

${\displaystyle \rho _{\mathrm {sw} }}$ – gęstość ładunków swobodnych.

Wkład ośrodka można też uwzględnić za pomocą indukcji elektrycznej związanej z natężeniem pola elektrycznego przez

${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}.}$

Dla której prawo Gaussa brzmi^[2]: Strumień indukcji elektrycznej ${\displaystyle {\vec {D}}}$ przenikający przez zamkniętą powierzchnię ${\displaystyle S}$ jest równy ładunkowi elektrycznemu ${\displaystyle Q}$ zawartemu w objętości zamkniętej powierzchnią ${\displaystyle S{:}}$

${\displaystyle \oint \limits _{S}{\vec {D}}\cdot {\textrm {d}}{\vec {S}}=\int \limits _{V}\rho \,{\textrm {d}}V=Q_{\mathrm {sw} }}$

lub w postaci różniczkowej^[3]

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{\mathrm {sw} },}$

w którym:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {D}}}$ – dywergencja indukcji elektrycznej.

Konsekwencje prawa Gaussa

Wzór: ${\displaystyle \oint \limits _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {Q}{\varepsilon }}}$ jest wyrazem faktu, że pole wektorowe ${\displaystyle {\vec {E}}}$ jest polem źródłowym.

Dla ładunku punktowego ${\displaystyle Q}$ pole ma symetrię sferyczną, dzięki czemu strumień pola w odległości ${\displaystyle r}$ można zapisać jako:

${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{E}=\oint \limits _{S}{\vec {E}}\ \cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=S_{r}E(r),}$

w którym ${\displaystyle S_{r}}$ jest powierzchnią kuli o promieniu ${\displaystyle r.}$

Z powyższego wynika:

${\displaystyle E(r)={\frac {Q}{\varepsilon S_{r}}}.}$

Pole powierzchni kuli jest równe ${\displaystyle 4\pi r^{2}.}$ Stąd wynikają wzory na natężenie pola elektrycznego oraz siłę oddziaływania ładunku próbnego ${\displaystyle q}$ z ładunkiem punktowym:

${\displaystyle E(r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r^{2}}},}$

${\displaystyle F(r)={\frac {Qq}{4\pi \varepsilon r^{2}}}.}$

Otrzymany wzór wyraża prawo Coulomba. Dodatkowym wnioskiem z powyższego równania jest to, że jeżeli w prawie Coulomba występuje wykładnik równy dokładnie 2 (co jest wyznaczane eksperymentalnie), to nasza przestrzeń ma dokładnie 3 wymiary. Jest to jedna z niewielu bezpośrednich metod badania „wymiarowości” naszej przestrzeni.

Prawo Gaussa zostało później ujęte w równaniach Maxwella.

Odpowiednik dla magnetyzmu

Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez powierzchnię zamkniętą równa się zeru. Fakt ten wynika stąd, iż pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne, dywergencja pola jest wszędzie równa zero.

${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{B}=\oint \limits _{S}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\oint \limits _{V}\nabla \cdot {\vec {B}}\mathrm {d} V=0.}$

Odpowiednik dla grawitacji

Prawo Gaussa dotyczy także pól grawitacyjnych:

${\displaystyle \oint \limits _{S}{\vec {g}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=-4\pi GM,}$

przy czym:

${\displaystyle {\vec {g}}}$ – natężenie pola grawitacyjnego,

${\displaystyle G}$ – stała grawitacji.

Strumień natężenia pola ${\displaystyle {\vec {g}}}$ przez powierzchnię zamkniętą ${\displaystyle S}$ równy jest całkowitej masie ${\displaystyle M}$ zamkniętej przez tę powierzchnię pomnożonej przez ${\displaystyle -4\pi G.}$

Uwaga: Ta postać prawa Gaussa jest prawdziwa jedynie w teorii grawitacji Newtona. W ogólnej teorii względności już nawet w najprostszym przypadku jednorodnego pola przyspieszeń w zadanym obszarze (wektory przyspieszenia są w tym obszarze równoległe) zachodzi bowiem:

${\displaystyle \oint \limits _{S}{\vec {g}}\ \cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {1}{c^{2}}}\oint \limits _{V}{\vec {g}}\ ^{2}\mathrm {d} V.}$

Zobacz też

• twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa
• twierdzenie Stokesa

Przypisy