Prawo Ohma

Prawo Ohma – prawo fizyki głoszące proporcjonalność natężenia prądu płynącego przez przewodnik do napięcia panującego między końcami przewodnika^[1][2]. Prawidłowość odkrył w latach 1825–1826 niemiecki nauczyciel matematyki, późniejszy fizyk, profesor politechniki w Norymberdze i uniwersytetu w Monachium, Georg Simon Ohm.

Historia i znaczenie

• W 1822 Humphry Davy opublikował rezultaty badań przewodzenia prądu elektrycznego w metalach. Stwierdził, że przewodnictwo drutów metalowych jest odwrotnie proporcjonalne do ich długości, a wprost proporcjonalne do pola powierzchni przekroju. Davy uporządkował też przewodniki ze względu na ich zdolność przewodzenia prądu^[3].
• Georg Simon Ohm (wówczas gimnazjalny nauczyciel matematyki) badał zależność prądu elektrycznego od wymiarów przewodnika i przyłożonego napięcia od roku 1825. Stwierdził, że prąd jest zależny od przyłożonego napięcia, ale jego prace były niejasne i skomplikowane, nie znalazły szerszego uznania^[a].
• W 1826 Ohm zaproponował opis swoich doświadczeń w postaci zbliżonej do znanej dzisiaj, stwierdzając, że prąd płynący w przewodniku jest proporcjonalny do przyłożonego napięcia. Mimo to upłynęło jeszcze kilka lat, zanim zostały one przyjęte przez środowiska naukowe.
• W latach 1845–1847 Gustav Kirchhoff przeprowadził analizę teoretyczną przepływu prądu i powiązał gęstość prądu z polem elektrycznym wewnątrz przewodnika.
• W 1900 Paul Drude sformułował swój model przewodnictwa metali, który wyjaśnił stwierdzoną doświadczalnie przez Ohma proporcjonalność prądu do napięcia^[4].

Współcześnie wiadomo, że wiele materiałów zachowuje się inaczej niż stwierdził Ohm i proporcjonalność napięcia i prądu nie jest zachowana (prawo Ohma nie jest spełnione). Materiały i elementy elektroniczne, dla których spełnione jest prawo Ohma nazywa się liniowymi (lub omowymi), a dla których nie – nieliniowymi (lub nieomowymi).

Mimo że prawo Ohma nie jest uniwersalnym prawem przyrody, a jedynie relacją spełnioną dla pewnej klasy materiałów w ograniczonym zakresie napięć i prądów, ma duże znaczenie historyczne, a także praktyczne. Było ono pierwszym ilościowym matematycznym opisem przepływu prądu elektrycznego^[3].

Sformułowanie

Prawo Ohma

Dla prądu stałego proporcjonalność napięcia ${\displaystyle U}$ i natężenia ${\displaystyle I}$ wyraża się wzorem:

${\displaystyle U=I\,R.}$

Współczynnik proporcjonalności ${\displaystyle R}$ nazywa się rezystancją lub oporem elektrycznym.

Współczynnik proporcjonalności pomiędzy natężeniem i napięciem, oznaczany jest zwykle przez ${\displaystyle G}$

${\displaystyle I=G\,U,}$

nosi on nazwę konduktancji i jest odwrotnością rezystancji

${\displaystyle {\frac {1}{G}}=R.}$

Prawo Ohma jest prawem doświadczalnym i w niektórych materiałach (w szczególności w metalach) jest dość dokładnie spełnione dla ustalonych warunków przepływu prądu, szczególnie temperatury przewodnika. Materiały, które się do niego stosują, nazywamy przewodnikami omowymi lub „przewodnikami liniowymi” – w odróżnieniu od przewodników nieliniowych, w których opór jest funkcją natężenia płynącego przez nie prądu. Prawo to także nie jest spełnione gdy zmieniają się parametry przewodnika, szczególnie temperatura.

Zależność oporu od rozmiarów przewodnika

Opór odcinka przewodnika o stałym przekroju poprzecznym jest proporcjonalny do długości tego odcinka ${\displaystyle l}$ i odwrotnie proporcjonalny do pola przekroju ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle R=\rho {\frac {l}{S}}.}$

Zależność ta została stwierdzona doświadczalnie przez Davego jeszcze przed sformułowaniem prawa Ohma^[b], a wyjaśniona teoretycznie przez Drudego w oparciu o jego model elektronów swobodnych. Stała ρ nosi nazwę rezystywności lub oporu właściwego i jest charakterystyczna dla materiału przewodnika. Odwrotność rezystywności nazywa się konduktywnością lub przewodnictwem właściwym, często jest oznaczana przez σ:

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\rho }}.}$

Prawo Ohma w postaci różniczkowej

Prąd o gęstości ${\displaystyle j}$ płynący w polu elektrycznym ${\displaystyle E}$ przez element o długości ${\displaystyle {\text{d}}l}$ o przekroju ${\displaystyle {\text{d}}S}$

Stosując prawo Ohma do elementarnego odcinka izotropowego przewodnika o długości ${\displaystyle {\text{d}}l}$ i powierzchni przekroju ${\displaystyle {\text{d}}S}$ (rysunek) można napisać^[5]

${\displaystyle {\text{d}}I={\frac {1}{R}}\,{\text{d}}U.}$

Wyrażając natężenie prądu za pomocą jego gęstości ${\displaystyle {\vec {j}}}$:

${\displaystyle {\text{d}}I={\vec {j}}\,{\text{d}}{\vec {S}}}$

oraz napięcie za pomocą natężenia pola elektrycznego ${\displaystyle {\vec {E}}}$:

${\displaystyle {\text{d}}U={\vec {E}}\,{\text{d}}{\vec {l}},}$

otrzymuje się:

${\displaystyle {\vec {j}}\,{\text{d}}{\vec {S}}={\frac {1}{R}}{\vec {E}}\,{\text{d}}{\vec {l}}.}$

Wybierając przekrój ${\displaystyle {\text{d}}S}$ prostopadle do kierunku płynącego prądu oraz podstawiając jako 1/R

${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\sigma {\frac {{\text{d}}S}{{\text{d}}l}},}$

otrzymamy

${\displaystyle {\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}.}$

Równanie to wiąże lokalną gęstość prądu z natężeniem pola elektrycznego w przewodniku. Zostało wyprowadzone przez Kirchhoffa, często jest nazywane prawem Ohma w postaci różniczkowej^[c].

Prawo Ohma dla prądu przemiennego

W obwodach prądu przemiennego przebiegi prądu mogą być przesunięte w fazie w stosunku do napięcia. W takiej sytuacji do opisu zależności przemiennego prądu od napięcia stosuje się zwykle liczby zespolone, a odpowiednikiem oporu jest zespolona impedancja ${\displaystyle Z}$:

${\displaystyle u(\omega ,t)=Z(\omega )\ i(\omega ,t),}$

gdzie:

${\displaystyle u(\omega ,t)}$ – zespolone napięcie przemienne,

${\displaystyle i(\omega ,t)}$ – zespolony prąd przemienny,

${\displaystyle Z(\omega )}$ – impedancja.

Rezystancją nazywa się wtedy część rzeczywistą impedancji, a konduktancją część rzeczywistą odwrotności impedancji (nazywanej admitancją):

${\displaystyle R(\omega )=Re(Z(\omega )),\quad G(\omega )={\frac {R(\omega )}{|Z(\omega )|^{2}}}.}$

W obwodach liniowych (spełniających prawo Ohma) impedancja nie zależy od amplitudy napięcia ani prądu, a amplituda prądu jest wtedy proporcjonalna do amplitudy napięcia.

Prawo Ohma w materiałach anizotropowych

W materiałach anizotropowych kierunek przepływu prądu elektrycznego nie musi być zgodny z kierunkiem przyłożonego pola elektrycznego. Zależność między gęstością prądu i natężeniem pola elektrycznego ma postać:

${\displaystyle {\vec {j}}={\hat {\sigma }}{\vec {E}}.}$

Konduktywność ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ jest wtedy tensorem, a jeżeli materiał jest liniowy (omowy), to wszystkie jej składowe są stałe.

Opór w obwodach nieliniowych

Jeżeli elementy obwodu są nieliniowe (nie spełniają prawa Ohma), wielkość oporu zdefiniowana przez

${\displaystyle R={\frac {U}{I}}}$

nie jest stała. Nazywa się go oporem całkowym, rezystancją statyczną lub całkową.

Definiuje się również różniczkowy opór elektryczny w postaci:

${\displaystyle R={\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}I}}.}$

Rezystancje statyczna i dynamiczna elementów liniowych są stałe i sobie równe.

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• David J. Grffiths, Podstawy elektrodynamiki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.
• Andrzej Januszajtis: Fizyka dla politechnik. Pola. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982. ISBN 83-01-01665-5.
• Alicja Nawrot, Dorota Karolczak, Jadwiga Jaworska: Encyklopedia – fizyka z astronomią. Kraków: GREG, 2013. ISBN 978-83-7517-210-2.
• I.W. Sawieliew: Wykłady z fizyki 2. Wyd. 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-11605-6.
• Andrzej Kajetan Wróblewski: Historia fizyki. Od czasów najdawniejszych do współczesności. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14635-4.