Prawo rozpadu naturalnego

Zależność masy od czasu dla różnych stałych rozpadu.

Prawo rozpadu naturalnego – zależność określająca szybkość ubywania pierwotnej masy substancji zbudowanej z jednego rodzaju cząstek, która ulega naturalnemu, spontanicznemu rozpadowi.

Prawo ma zastosowanie w rozpadzie promieniotwórczym ciał, ale w ogólności dotyczy wielu procesów fizycznych.

Prawo to głosi, że jeśli prawdopodobieństwo rozpadu cząstek tworzących substancję jest dla każdej z nich jednakowe i niezależne oraz nie zmienia się w czasie trwania procesu rozpadu, to ubytek masy substancji w niewielkim odcinku czasu można wyrazić wzorem:

${\displaystyle \mathrm {d} m=-\lambda m\mathrm {d} t.}$

Po scałkowaniu:

${\displaystyle m(t)=m_{0}\mathrm {e} ^{-\lambda t},}$

gdzie:

${\displaystyle m}$ – masa substancji ulegającej rozpadowi,

${\displaystyle \lambda }$ – stała rozpadu charakterystyczna dla danego izotopu lub substancji,

${\displaystyle t}$ – czas,

${\displaystyle m_{0}}$ – masa początkowa substancji w momencie ${\displaystyle t=0,}$

${\displaystyle m(t)}$ – masa substancji w czasie ${\displaystyle t.}$

We wzorze na prawo rozpadu zamiast stałej rozpadu ${\displaystyle \lambda }$ używana jest wielkość ${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}}$ zwana średnim czasem życia.

Czas po którym w stanie początkowym pozostaje połowa masy próbki ${\displaystyle (m={\frac {1}{2}}m_{0})}$ nazywa się czasem połowicznego rozpadu ${\displaystyle (T_{\frac {1}{2}}).}$

Co można wyrazić wzorem:

${\displaystyle \lambda T_{\frac {1}{2}}=\ln 2}$

lub

${\displaystyle T_{\frac {1}{2}}={\frac {\ln 2}{\lambda }}\approx {\frac {0{,}693}{\lambda }}.}$

Wzór na ilość pozostającej substancji można wyrazić:

${\displaystyle m(t)=m_{0}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{T_{1/2}}}={\frac {m_{0}}{2^{\frac {t}{T_{1/2}}}}}=m_{0}2^{-{\frac {t}{T_{1/2}}}}.}$

Masa cząstek, które się rozpadły od początku, czyli czasu ${\displaystyle t=0,}$ w którym masa była równa ${\displaystyle m_{0},}$ to:

${\displaystyle m_{0}-m(t)=m_{0}\left(1-\mathrm {e} ^{-\lambda t}\right).}$

Masę cząstek, które się rozpadają w jednostce czasu, a więc szybkość rozpadania się (patrz aktywność promieniotwórcza), można przedstawić jako:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=-\lambda m_{0}\mathrm {e} ^{-\lambda t}=-\lambda m(t).}$

W prawie rozpadu naturalnego w miejsce masy można używać inne wielkości mierzące ilość rozpadającego się czynnika, np. liczbę cząstek.

Prawo rozpadu naturalnego ma zastosowanie do cząstek elementarnych, jąder atomowych i substratów reakcji chemicznych, które zachodzą zgodnie z kinetyką pierwszego rzędu.

Prawo rozpadu naturalnego zastosowane do opisu zachowania izotopów promieniotwórczych znane jest jako prawo rozpadu promieniotwórczego lub prawo przemian promieniotwórczych a samo równanie jako równanie rozpadu promieniotwórczego.

Prawo to jest matematycznie identyczne z prawami opisującymi wiele innych procesów w fizycznych np.:

• stygnięcie ciała opisuje wówczas zmianę temperatury (prawo stygnięcia),
• rozładowanie kondensatora – ładunek elektryczny ${\displaystyle q(t)}$ na okładkach kondensatora.