Prawo wzajemności reszt kwadratowych
Prawo wzajemności reszt kwadratowych – twierdzenie teorii liczb, które pozwala rozstrzygnąć, czy dana kongruencja stopnia 2 ma rozwiązanie. Prawo wzajemności reszt kwadratowych udowodnił Gauss, choć jego prawdziwość podejrzewali już Euler i Legendre.
Twierdzenie
Niech p i q będą dwiema różnymi, nieparzystymi liczbami pierwszymi. Wynika stąd natychmiast, że p i q przystają modulo 4 albo do 1, albo do 3 – jeśli choć jedna z tych liczb przystaje do 1 modulo 4, to kongruencja
ma rozwiązanie x wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
ma rozwiązanie y; na ogół rozwiązania te będą różne. Jeśli natomiast obie liczby p i q przystają do 3 modulo 4, to kongruencja
ma rozwiązanie x wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
nie ma rozwiązania y.
Korzystając z symbolu Legendre’a
- jeśli p jest resztą kwadratową modulo q i -1 w przeciwnym wypadku,
oba stwierdzenia można zapisać następująco[1]:
- .
Ponieważ jest parzyste jeśli któraś z liczb p lub q przystaje do 1 modulo 4, i nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby p i q przystają do 3 modulo 4, jest równe 1 jeśli któraś z liczb p lub q przystaje do 1 modulo 4 i –1 jeśli obie liczby p i q przystają do 3 modulo 4.
Znanych jest 246 różnych dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych[2].
Przypisy
- ↑ reszt kwadratowych prawo wzajemności, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-08] .
- ↑ Proofs of the Quadratic Reciprocity Law