Prawo wzajemności reszt kwadratowych

Prawo wzajemności reszt kwadratowych – twierdzenie teorii liczb, które pozwala rozstrzygnąć, czy dana kongruencja stopnia 2 ma rozwiązanie. Prawo wzajemności reszt kwadratowych udowodnił Gauss, choć jego prawdziwość podejrzewali już Euler i Legendre.

Twierdzenie

Niech p i q będą dwiema różnymi, nieparzystymi liczbami pierwszymi. Wynika stąd natychmiast, że p i q przystają modulo 4 albo do 1, albo do 3 – jeśli choć jedna z tych liczb przystaje do 1 modulo 4, to kongruencja

${\displaystyle x^{2}\equiv p\ ({\rm {mod}}\ q)}$

ma rozwiązanie x wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

${\displaystyle y^{2}\equiv q\ ({\rm {mod}}\ p)}$

ma rozwiązanie y; na ogół rozwiązania te będą różne. Jeśli natomiast obie liczby p i q przystają do 3 modulo 4, to kongruencja

${\displaystyle x^{2}\equiv p\ ({\rm {mod}}\ q)}$

ma rozwiązanie x wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

${\displaystyle y^{2}\equiv q\ ({\rm {mod}}\ p)}$

nie ma rozwiązania y.

Korzystając z symbolu Legendre’a

${\displaystyle \left({\tfrac {p}{q}}\right)=1}$ jeśli p jest resztą kwadratową modulo q i   -1 w przeciwnym wypadku,

oba stwierdzenia można zapisać następująco^[1]:

${\displaystyle \left({\tfrac {p}{q}}\right)\left({\tfrac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}}$.

Ponieważ ${\displaystyle {\tfrac {(p-1)(q-1)}{4}}}$ jest parzyste jeśli któraś z liczb p lub q przystaje do 1 modulo 4, i nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby p i q przystają do 3 modulo 4, ${\displaystyle \left({\tfrac {p}{q}}\right)\left({\tfrac {q}{p}}\right)}$ jest równe 1 jeśli któraś z liczb p lub q przystaje do 1 modulo 4 i –1 jeśli obie liczby p i q przystają do 3 modulo 4.

Znanych jest 246 różnych dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych^[2].

Przypisy