Problem Waringa

W roku 1770 (XVIII w.) Edward Waring wysunął hipotezę[1], że każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę czterech kwadratów (np. ). Ogólny zapis hipotezy:

Dla każdej liczby całkowitej jest liczba że każda liczba całkowita dodatnia może być zapisana jako:

z nieujemną liczbą całkowitą

Hipoteza ta została udowodniona w tym samym roku przez J.L. Lagrange’a i obecnie nazywana jest problemem Waringa.

Problem ów został następnie uogólniony na wyższe potęgi (np. 1909 – David Hilbert, 1920 – Hardy i Littlewood[2]). W roku 1909 David Hilbert wykazał[3], że dla każdej liczby naturalnej istnieje taka liczba że każdą liczbę naturalną można zapisać za pomocą co najwyżej -tych potęg liczb naturalnych. Niech dla każdego liczba oznacza najmniejsze takie Problem Waringa pyta właśnie o wartości funkcji [4].

Kilka pierwszych wartości funkcji to:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055...

Należy zauważyć, że liczba może mieć więcej niż jedną postać jako suma -tych potęg, np.

W roku 1939 Leonard Eugene Dickson wykazał, że 23 oraz 239 to jedyne liczby wymagające sumy dziewięciu sześcianów (oznacza to, że wszystkie pozostałe liczby wymagają co najwyżej ośmiu sześcianów).

Przypisy

  1. ↑ E. Waring, Meditationes algebraicae, Cambridge 1770.
  2. ↑ G.H. Hardy, J.E. Littlwood // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. s. 33–54. IV: Math. Z., 1922, № 12, s. 161–188.
  3. ↑ D. Hilbert, Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // „Mathematische Annalen”, 67, s. 281–300 (1909).
  4. ↑ ACTA ARITHMETICA [1].

Bibliografia

  • Dennis Weeks (Hg.): Meditationes algebraicae. An English translation of the work of Edward Waring. Providence: American Mathematical Society, 1991. (​ISBN 0-8218-0169-4​).
  • Leonard Eugene Dickson: All integers except 23 and 239 are sums of eight cubes. In: „Bulletin of the American Mathematical Society” 45 (1939), s. 588–591.

Linki zewnętrzne

  • Eric W. Weisstein, Waring's Problem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).