Problem geometryczny Karola Borsuka

Problem geometryczny Karola Borsuka dotyczy dzielenia zbiorów ograniczonych w przestrzeni euklidesowej na podzbiory o mniejszych średnicach.

Nietrudno w przestrzeni euklidesowej pokryć 3-wymiarową kulę czterema podzbiorami o średnicy mniejszej od średnicy kuli. Podobnie jest z kulą n-wymiarową i podzbiorami. W roku 1933 Karol Borsuk pokazał, że podzbiorów nie wystarczy. Postawił zatem następujące pytanie ogólne, dotyczące dowolnych zbiorów w przestrzeni euklidesowej, a nie tylko kul[1]:

Czy każdy zbiór o średnicy 1, w przestrzeni euklidesowej wymiaru n, można rozbić na n+1 zbiorów o średnicach mniejszych od 1?

(Borsuk pyta o zbiorów, gdyż, jak sam pokazał na przykładzie kuli, nie wystarczy).

W roku 1945 Hugo Hadwiger opublikował swój wynik o pozytywnej odpowiedzi w szczególnym wypadku ograniczonych zbiorów wypukłych, których powierzchnia jest gładka (dopuszcza w każdym punkcie dokładnie jedną (n–1)-wymiarową płaszczyznę styczną). W roku 1971 A.S. Riesling pokazał, że hipoteza Borsuka zachodzi dla zbiorów centralnie symetrycznych, a C. A. Rogers, w tym samym roku, że dla każdego zbioru ograniczonego, który odwzorowywany jest w siebie przez symetrie n-wymiarowego sympleksu regularnego.

Pełną odpowiedź na pytanie Borsuka dla uzyskał polski matematyk Julian Perkal w 1947[2] i Anglik H.G. Eggelston w 1955[3]. Prostsze rozwiązania dla podali w 1957 pracujący w USA izraelski geometra Branko Grünbaum i Węgier Aladár Heppes. Grünbaum dowolny przestrzenny zbiór o średnicy 1 zawarł w jedenastościanie, który otrzymuje się z foremnego ośmiościanu, o przeciwległych ścianach odległych o 1, poprzez ścięcie 3 „rogów” (stąd dodatkowe 3 kwadratowe ściany, w sumie ścian). Teraz wystarczy podzielić jedenastościan. Cztery części na które można podzielić jedenastościan (a więc i dany zbiór) mają średnice nie przekraczające:

a więc mniejszą od jeden. Przypuszczenie, że średnice części dadzą się zmniejszyć do:

nie zostało potwierdzone.

J. Kahn i G. Kalai[4] pokazali w 1993, że dla wszystkich, dostatecznie dużych odpowiedź na pytanie Borsuka jest negatywna. W szczególności jest ona negatywna dla oraz dla wszystkich Z kolei Hinrichs i Richter udowodnili w roku 2003, że odpowiedź jest negatywna już dla [5].

Wynik ten został poprawiony: w 2013 Andrej Bondarenko pokazał, że odpowiedź jest negatywna dla [6], zaś Thomas Jenrich jeszcze obniżył ograniczenie do 64[7][8].

Przypisy

  1. ↑ Karol Borsuk, Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre, „Fundamenta Mathematicae”, 20 (1933), s. 177–190.
  2. ↑ Julian Perkal, Sur la subdivision des ensembles en parties de diamètre inférieur, Colloq. Math. 2 (1947), s. 45.
  3. ↑ H.G. Eggleston, Covering a three-dimensional set with sets of smaller diameter, J. Lond. Math. Soc. 30 (1955), s. 11–24.
  4. ↑ J. Kahn, G. Kalai, A counterexample to Borsuk’s conjecture, „Bulletin of the American Mathematical Society” 29 (1993), s. 60–62.
  5. ↑ Aicke Hinrichs, Christian Richter. New Sets with Large Borsuk Numbers. „Disc. Math.”. 270, s. 137–147, 2003. Elsevier. DOI: 10.1016/S0012-365X(02)00833-6 (ang.). 
  6. ↑ Andriy Bondarenko. On Borsuk’s Conjecture for Two-Distance Sets. „Discrete & Computational Geometry”. 51 (3), s. 509–515, 2014. DOI: 10.1007/s00454-014-9579-4. arXiv:1305.2584 (ang.). 
  7. ↑ Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture, „arXiv”, 2013, Bibcode: 2013arXiv1308.0206J, arXiv:1308.0206.
  8. ↑ Thomas Jenrich, Andries E. Brouwer. A 64-Dimensional Counterexample to Borsuk’s Conjecture. „Electronic Journal of Combinatorics”. 21 (4), s. P4.29, 2014.