Problem odwrotny

Załóżmy, że nasz model polega na sumowaniu wszystkich cyfr z pudła (A). Za pomocą zagadnienia odwrotnego staramy się z otrzymanego wyniku odtworzyć zawartość pudła (B). Pomyślność rozwiązania zależy od informacji jakie posiadamy na temat założeń dotyczących naszego modelu.

Problem odwrotny (zagadnienie odwrotne, ang. Inverse problem) – zadanie, które często występuje w różnych gałęziach nauki czy matematyki, gdzie niektóre parametry modelu muszą być wyznaczone na podstawie obserwowanych wartości.

Zapis formalny

Załóżmy, że wybrane zjawisko można opisać za pomocą zależności:

gdzie to wektor danych wyjściowych z systemu (np. zmierzona temperatura obiektu); to wektor danych wejściowych oznaczający przyczyny zewnętrzne (np. przyłożona siła); oznacza właściwości samego systemu (np. stałe materiałowe); oznacza warunki brzegowe; to system (funkcja, macierz) opisujący zjawisko. Jeśli na podstawie znanych parametrów wyznaczana jest wartość to mamy do czynienia z zagadnieniem wprost. W przypadku gdy na podstawie znajomości wektora i wybranych parametrów spośród mamy wyznaczyć brakujące wielkości opisujące zjawisko mówimy o problemie odwrotnym. Możliwa jest również sytuacja w której np. posiadamy niepełną informację na temat wektorów i wtedy zadanie mające na celu wyznaczyć brakujące wartości nazywamy problemem mieszanym[1].

Prosty przykład

Odnosząc rozumowanie do ilustracji obok załóżmy że nasz model polega na zsumowaniu wszystkich cyfr z pudła (część A rysunku). Zagadnienie odwrotne mogłoby polegać na wyznaczeniu na podstawie obserwowanego wyniku 27 zawartości pudła (część B rysunku). W zależności od dodatkowych informacji o naszym modelu możemy uzyskać rzeczywiste rozwiązanie bądź nie. Mówimy wtedy, że problem jest dobrze bądź źle postawiony.

Typy problemów źle postawionych

W praktyce zagadnienia odwrotne są często problemami źle postawionymi i do ich rozwiązania wykorzystuje się np. metody regularyzacyjne. Wybór techniki rozwiązania zależy od rodzaju zagadnienia. Zwyczajowo wyróżnia się 3 następujące typy zagadnień odwrotnych źle postawionych[1]:

  • typ I – gdy liczba niewiadomych jest większa niż liczba danych wejściowych,
  • typ II – gdy poszukiwane parametry modelu są niewrażliwe na dane wejściowe,
  • typ III – gdy zmierzone dane wejściowe obarczone błędem pomiarowym poddawane są działaniu operatora różniczkowego.

Przykłady zastosowań

Praktycznym wykorzystaniem problemu odwrotnego jest np. algorytm rekonstrukcji obrazu w tomografii komputerowej[2], wyznaczanie prądów morskich[3], zastosowanie w badaniach nieniszczących[1] czy wyznaczanie źródeł bioelektrycznych elektrokardiografii[4] i elektroencefalografii[5].

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ a b c G.R. Liu, X. Han: Computational Inverse Techniques in Nondestructive Evaluation. CRC Press, 2003. ISBN 978-0-8493-1523-7.
  2. ↑ M. Bertero, P. Boccacci: Introduction to Inverse Problems in Imaging. CRC Press, 1998. ISBN 978-1-4398-2206-7.
  3. ↑ Carl Wunsch: The Ocean Circulation Inverse Problem. Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-48090-6.
  4. ↑ Yuan Jiang: Solving the Inverse Problem of Electrocardiography in a Realistic Environment. KIT Scientific Publishing, 2010. ISBN 978-3-86644-486-7.
  5. ↑ Johannes Höhne: The inverse EEG problem. GRIN Verlag, 2008. ISBN 978-3-638-06888-8.

Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie

Inverse problem.png
Ilustracja idei problemu odwrotnego.