Problemy Hilberta

Problemy Hilberta – lista 23 zagadnień matematycznych przedstawiona przez Davida Hilberta w 1900 roku, pokazująca stan matematyki na przełomie XIX i XX wieku[1][2]. Lista ta była tematem jego wykładu na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu, jednak z powodu braku czasu Hilbert zdążył omówić wówczas jedynie 10 z owych problemów[3][4].

Sam Hilbert prawdopodobnie nie zdawał sobie sprawy z wagi i trudności wielu spośród postawionych przez siebie problemów. Próby ich rozwiązania wpłynęły znacząco na rozwój matematyki w XX wieku.

Do początku XXI w. większość problemów Hilberta została rozwiązana, choć niektóre problemy sformułowane są zbyt ogólnie, by można to było jednoznacznie stwierdzić. W 2021 roku do nierozwiązanych wciąż problemów należy m.in. problem numer 8, który zawiera dwie hipotezy dotyczące liczb pierwszych (hipotezę Goldbacha i hipotezę Riemanna).

Lista problemów Hilberta

NrKrótki opisAktualny status
1Hipoteza continuum (nie istnieje zbiór o mocy pośredniej pomiędzy mocą zbioru liczb całkowitych i liczb rzeczywistych)Udowodniono, że hipoteza ta jest niezależna od aksjomatyki Zermela-Fraenkla teorii mnogości. W oparciu o te aksjomaty nie można jej ani udowodnić, ani obalić.
2Udowodnić niesprzeczność aksjomatów arytmetyki (tzn., że arytmetyka jest systemem formalnym, w którym nie jest możliwy dowód dwóch sprzecznych ze sobą twierdzeń)Nie ma zgody co do rozstrzygnięcia, mający pomóc w rozwiązaniu problemu program Hilberta został podważony przez twierdzenie Gödla, jednak jest to wciąż przedmiotem debaty.
3Czy mając dane dwa wielościany o równej objętości, można zawsze rozłożyć jeden z nich na skończoną liczbę wielościennych części, a następnie złożyć je w drugi?Rozwiązany przez Maxa Dehna, który podał kontrprzykład.
4Problem konstrukcji przestrzeni metrycznych, w których proste stanowią najkrótszą drogę pomiędzy punktamiProblem uznany za zbyt ogólnikowy, choć został rozstrzygnięty dla pewnych szczególnych przypadków.
5Czy wszystkie ciągłe grupy są jednocześnie grupami Liego?Rozwiązany w 1953 r. – dowodu dostarcza twierdzenie Gleasona-Montgomery'ego-Zippina.
6Aksjomatyzacja całości fizykiProblem został uznany za niematematyczny, rozwiązany tylko dla niektórych dziedzin.
7Czy liczba a b, gdzie liczba algebraiczna a jest różna od 0 i 1, a b jest algebraiczną liczbą niewymierną, jest liczbą przestępną?Rozwiązany – odpowiedzi pozytywnej udziela twierdzenie Gelfonda.
8Hipoteza Riemanna (część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji dzeta jest równa ½) i hipoteza Goldbacha (każda liczba parzysta większa od 2 może być wyrażona jako suma dwóch liczb pierwszych)Problem otwarty.
9Dowód uogólnionego prawa wzajemności dla każdego algebraicznego ciała liczbowegoRozwiązany częściowo. W 1927 r. Emil Artin podał dowód dla rozszerzeń abelowych (twierdzenie Artina o wzajemności). Przypadek ogólny pozostaje otwarty.
10Przewidzenie rozwiązywalności każdego równania diofantycznegoRozwiązany – zgodnie z twierdzeniem Matijasiewicza jest to niemożliwe.
11Rozwiązywanie form kwadratowych z dowolnymi algebraicznymi współczynnikami liczbowymiRozwiązany w 1924 r. przez Helmuta Hassego.
12Rozszerzenie twierdzenia Kroneckera-Webera o ciałach abelowych na dowolne algebraiczne ciała liczboweProblem otwarty.
13Rozwiązywanie wszystkich równań 7. stopnia przy użyciu funkcji dwóch zmiennychRozwiązany. Możliwość rozwiązania wszystkich takich równań udowodnił Władimir Arnold razem z Andriejem Kołmogorowem
14Dowód skończoności konstrukcji pewnych podpierścieniRozwiązany. Odpowiedź przecząca z uwagi na kontrprzykład znaleziony w 1959 r. przez Masayoshi Nagatę.
15Ścisłe sformułowanie rachunku SchubertaRozwiązany w 1930 r. przez Van der Waerdena.
16Postulat badań nad topologią krzywych i powierzchni algebraicznychProblem otwarty.
17Wyrażenie określonych funkcji rzeczywistych jako ilorazu sum kwadratówRozwiązany. Znaleziono górne ograniczenie dla liczby wymaganych składników.
18Czy istnieje nieforemny wielościan pozwalający na wypełnienie przestrzeni? Jakie jest najgęstsze upakowanie sfer?Rozwiązany, ale dowód postulatu Keplera wciąż czeka na powszechną akceptację.
19Czy rozwiązania lagranżjanów są zawsze analityczne?Rozwiązany. Odpowiedź twierdząca. Dowód podany przez Ennio de Giorgiego oraz niezależnie, z wykorzystaniem innego aparatu, przez Johna Forbesa Nasha.
20Czy wszystkie zadania rachunku wariacyjnego z określonymi warunkami brzegowymi mają rozwiązania?Rozwiązany. Obszar intensywnych i szeroko zakrojonych badań w XX w.; wieloletnie wysiłki zwieńczone w 1998 r. skonstruowaniem dowodu dla przypadku nieliniowego.
21Dowód istnienia liniowych równań różniczkowych z przypisanymi grupami monodromiiRozwiązany w 1957 r. przez Helmuta Rörla. Odpowiedź twierdząca lub przecząca, w zależności od bardziej szczegółowego sformułowania problemu.
22Uniformizacja relacji analitycznych przy pomocy funkcji automorficznychRozwiązany w 1907 r. przez Henriego Poincarégo.
23Dalszy rozwój rachunku wariacyjnegoRozwiązany.

Zobacz też

Przypisy

  1. Digizeitschriften, www.digizeitschriften.de [dostęp 2022-10-01].
  2. HILBERT: MATHEMATICAL PROBLEMS [dostęp 2022-10-01].
  3. Hilberta problemy, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-28].
  4. 1900 ICM - Paris, Maths History [dostęp 2022-10-01] (ang.).

Linki zewnętrzne