Proces Poissona

Proces Poissona – nazwana na cześć francuskiego matematyka, Siméona Denisa Poissona, rodzina (będąca procesem stochastycznym – procesem Markowa) ${\displaystyle (N_{t},\;t\geq 0)}$ zdefiniowana w następujący sposób:

${\displaystyle N_{t}={\begin{cases}0,&X_{1}>t\\\sup\{n:X_{1}+\dots +X_{n}\leq t\},&X_{1}\leq t\end{cases}}.}$

Gdzie ciąg ${\displaystyle (X_{i})_{i=1,2,3...}}$ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z jednakowym dla każdej ze zmiennych parametrem ${\displaystyle \lambda .}$

Zmienna ${\displaystyle X_{i}}$ oznacza czas pomiędzy (i-1)-szym a i-tym zdarzeniem (tradycyjnie nazywanym zgłoszeniem), a ${\displaystyle N_{t}}$ to liczba zgłoszeń, które wystąpiły do chwili t.

Równoważne definicje

Proces stochastyczny jest procesem Poissona o intensywności ${\displaystyle \lambda }$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

(i)

1. ${\displaystyle N_{0}=0;}$ W czasie startowym przyjmuje wartość zero.
2. ${\displaystyle (N_{t},\;t\geq 0)}$ ma przyrosty niezależne.
3. ${\displaystyle N_{b}-N_{a}\sim Poiss(\lambda (b-a))\quad dla\quad b>a}$ różnice między stanami mają rozkład Poissona o podanym parametrze.

(ii)

1. ${\displaystyle N_{0}=0.}$
2. ${\displaystyle (N_{t},\;t\geq 0)}$ ma niezależne i stacjonarne przyrosty.
3. ${\displaystyle P(N_{h}=1)=\lambda h+o(h).}$
4. ${\displaystyle P(N_{h}\geq 2)=o(h).}$

Niezależność przyrostów oznacza, że liczba zdarzeń w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależnymi zmiennymi losowymi. Proces ten więc nie ma pamięci – wcześniejsze realizacje procesu nie wpływają na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w danym czasie.

Własności

Niech ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}.}$ Wtedy ${\displaystyle S_{n}}$ ma rozkład Erlanga z parametrami ${\displaystyle k=n,\ \theta =1/{\lambda }.}$

Proces Poissona może przebiegać w czasie dyskretnym lub ciągłym, ten drugi rodzaj jest jednym z najlepiej zbadanych przykładów procesu Lévy’ego.

Zobacz też

• teoria prawdopodobieństwa