Proces Wienera

Pojedyncza trajektoria (jednowymiarowego) procesu Wienera

Proces Wienera (ruch Browna) – proces stochastyczny z czasem ciągłym nazwany dla uhonorowania osiągnięć Norberta Wienera. Jest też często nazywanym ruchem Browna, gdyż jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie, który po raz pierwszy zaobserwował botanik Robert Brown. Proces Wienera jest najbardziej znanym przykładem procesu gaussowskiego, a ponadto jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego procesu Lévy’ego. Proces Wienera nierzadko opisuje zjawiska występujące w ekonomii, finansach czy fizyce.

W matematyce, badania nad procesem Wienera zapoczątkowały rozwój teorii martyngałów z czasem ciągłym. Proces odgrywa kluczową rolę w badaniach bardziej skomplikowanych procesów, na przykład, procesów będących rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych jak procesy dyfuzji. W matematyce stosowanej, procesu Wienera używa się, m.in., do wyznaczenia całki stochastycznej z tzw. białego szumu oraz używa się go do modelowania innych szumów (zob. szum czerwony).

W fizyce, proces Wienera używa się do modelowania ruchów cząsteczek w zawiesistej cieczy oraz różnorakich procesów dyfuzyjnych (zob. równanie Fokkera-Plancka oraz równanie Langevina). Rozwiązanie równania Schrödingera wyraża się poprzez proces Wienera (zob. wzór Feynmana-Kaca). W finansach, procesu Wienera używa się do wyznaczenia modelu Blacka-Scholesa wyceny opcji europejskich.

Definicja

Proces stochastyczny ${\displaystyle (W_{t})_{t\geqslant 0}}$ na przestrzeni probabilistycznej ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {P}})}$ nazywa się (standardowym) procesem Wienera, gdy spełnia następujące warunki:

1. ${\displaystyle W_{0}=0}$ prawie na pewno,
2. proces ten ma przyrosty niezależne, tj. dla wszelkich ${\displaystyle 0\leqslant t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{k}}$ zmienne losowe

${\displaystyle W_{t_{1}},W_{t_{2}}-W_{t_{1}},W_{t_{3}}-W_{t_{2}},\dots ,W_{t_{k}}-W_{t_{k-1}}}$

są niezależne,

3. ${\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)}$ dla wszelkich ${\displaystyle 0\leqslant s\leqslant t,}$

4. trajektorie procesu są ciągłe prawie na pewno, tzn. istnieje taki zbiór ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$ że ${\displaystyle {\mathsf {P}}(A)=1}$ oraz dla wszelkich ${\displaystyle \omega \in A}$ funkcja ${\displaystyle t\mapsto W_{t}(\omega )}$ jest ciągła.

Niektórzy autorzy zakładają, że ${\displaystyle W_{0}=0}$ oraz że wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe^[1].

Charakteryzacje

Proces Wienera jest procesem gaussowskim, tj. dla wszelkich ${\displaystyle 0\leqslant t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{k}}$ wektor losowy

${\displaystyle (W_{t_{1}},W_{t_{2}},\dots ,W_{t_{k}})}$

ma (wielowymiarowy) rozkład normalny. W klasie procesów gaussowskich istnieje następująca charakteryzacja procesu Wienera.

Twierdzenie. Proces gaussowski ${\displaystyle (X_{t})_{t\geqslant 0}}$ jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy

a. prawie wszystkie jego trajektorie są ciągłe,

b. ${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{t}=0}$ dla wszelkich ${\displaystyle t\geqslant 0}$

c. ${\displaystyle {\mathsf {Cov}}(X_{s},X_{t})=\min\{s,t\}}$ dla wszelkich ${\displaystyle s,t\geqslant 0}$^[2].

W szczególności, proces Wienera spełnia powyższe warunki a.-c. Rzeczywiście, jeżeli ${\displaystyle (W_{t})_{t\geqslant 0}}$ jest procesem Wienera, to.

${\displaystyle {\mathsf {E}}W_{t}={\mathsf {E}}(W_{t}-W_{0})=0,}$

z uwagi na to, że ${\displaystyle W_{0}=0}$ p.n. (warunek 1.) oraz zmienna ${\displaystyle W_{t}-W_{0}}$ ma rozkład normalny ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,t)}$ (warunek 3.). Z niezależności rozkładów, tj. warunku 2., wynika, że dla ${\displaystyle 0\leqslant s<t}$ zachodzi

${\displaystyle {\mathsf {Cov}}(W_{s},W_{t})={\mathsf {Cov}}(W_{t}-W_{s},W_{t})+{\mathsf {Var}}X_{s}=0+s}$^[2].

By udowodnić, że proces gaussowski spełniający warunki a.-c. jest procesem Wienera należy zauważyć, że ${\displaystyle {\mathsf {Var}}X_{0}=0={\mathsf {E}}X_{0},}$ tj. ${\displaystyle X_{0}=0}$ p.n., co dowodzi warunku 1. Następnie, dla ${\displaystyle t>s,}$ zmienna losowa ${\displaystyle X_{t}-X_{s}}$ ma rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją

${\displaystyle {\mathsf {Var}}(X_{t}-X_{s})={\mathsf {Var}}(X_{t})+{\mathsf {Var}}(X_{s})-2\cdot {\mathsf {Cov}}(X_{t},X_{s})=t-s,}$

co dowodzi warunku 3. By wykazać warunek 2., z gaussowskości rozkładu wynika, że dla wszelkich ${\displaystyle 0\leqslant t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{k}}$ zmienne

${\displaystyle X_{t_{1}},X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}}$

są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane (tj. kowariancja każdej ich pary wynosi 0). Mamy jednak dla ${\displaystyle 0\leqslant s_{1}\leqslant s_{2}\leqslant s_{3}\leqslant s_{4}}$

${\displaystyle {\mathsf {Cov}}(X_{s_{1}},X_{s_{3}}-X_{s_{2}})={\mathsf {Cov}}(X_{s_{1}},X_{s_{3}})-{\mathsf {Cov}}(X_{s_{1}},X_{s_{2}})=\min\{s_{1},s_{3}\}-\min\{s_{1},s_{2}\}=s_{1}-s_{1}=0,}$

oraz

${\displaystyle {\mathsf {Cov}}(X_{s_{2}}-X_{s_{1}},X_{s_{4}}-X_{s_{3}})={\mathsf {Cov}}(X_{s_{2}},X_{s_{4}}-X_{s_{3}})-{\mathsf {Cov}}(X_{s_{1}},X_{s_{4}}-X_{s_{3}})=0,}$

co kończy dowód^[2].

Proces Wienera można scharakteryzować poprzez stacjonarność przyrostów i skończoność czwartych momentów:

Twierdzenie. Proces stochastyczny ${\displaystyle (X_{t})_{t\geqslant 0}}$ jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki 1., 2. i 4. oraz

3a. przyrosty procesu ${\displaystyle (X_{t})_{t\geqslant 0}}$ są stacjonarne, tj. dla wszelkich ${\displaystyle 0\leqslant s<t}$ zmienne ${\displaystyle X_{t}-X_{s}}$ oraz ${\displaystyle X_{t-s}-X_{0}}$ mają te same rozkłady,

3b. ${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{0}=0,{\mathsf {Var}}\,X_{0}=1,}$

3c. ${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{t}^{4}<\infty }$ dla wszelkich ${\displaystyle t>0}$^[2].

Własności

Proces Wienera jest jednym z najlepiej zbadanych procesów stochastycznych. Oto niektóre z jego własności:

• Cechy trajektorii – pomimo że zgodnie z założeniem definicji (prawie wszystkie) trajektorie procesu Wienera są ciągłe, to nie przejawiają innych regularności. Dowodzi się, że prawie każda trajektoria ma wahanie nieskończone^[3], co implikuje, że jest nieróżniczkowalna (w każdym punkcie czasu)^[4].
• Proces Wienera ma mocną własność Markowa.
• Prawo odbicia procesu Wienera – po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry. Ściśle, prawo to można opisać za pomocą wzoru

  ${\displaystyle {\mathsf {P}}\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}>a\right)=2{\mathsf {P}}(W_{t}>a)}$

• Prawo iterowanego logarytmu opisuje asymptotyczne zachowanie się trajektorii (dzięki zastosowaniu inwersji możliwe jest też badanie trajektorii w otoczeniu 0).

  ${\displaystyle {\mathsf {P}}\left(\limsup _{t\to +\infty }{\frac {W_{t}}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1\right)=1}$

Operacje zachowujące własności procesu Wienera

Niech ${\displaystyle (W_{t})_{t\geqslant 0}}$ będzie procesem Wienera. Wówczas każdy ze zdefiniowanych niżej procesów jest również procesem Wienera

• ${\displaystyle -W_{t}}$ (odbity proces Wienera),
• ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {c}}}W_{ct}}$ (proces Wienera o czasie przeskalowanym przez pewne ${\displaystyle c>0}$),
• ${\displaystyle 0}$ dla ${\displaystyle t=0}$ oraz ${\displaystyle tW_{1/t}}$ dla ${\displaystyle t>0}$ (inwersja czasu w procesie Wienera),
• ${\displaystyle W_{t}}$ dla ${\displaystyle t\leqslant T}$ oraz ${\displaystyle 2W_{T}-W_{t}}$ dla ${\displaystyle t>T}$ (dla dowolnego ${\displaystyle T>0}$)^[3]; zob. prawo odbicia procesu Wienera.

Konstrukcja procesu Wienera

Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej szkic dowodu najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu ruchu Browna. Niech dana będzie cząstka poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zmniejszając odpowiednio jednostkę odległości i przyspieszając czas uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch chaotyczny. Innymi słowy proces Wienera jest „procesem granicznym” dla błądzenia losowego, przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje twierdzenie Donskera.

Miara procesu Wienera

Proces Wienera ${\displaystyle (W_{t})_{t\geqslant 0},}$ jak każdy proces stochastyczny, wyznacza miarę ${\displaystyle \mu }$ na przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{[0,\infty )}}$ z σ-ciałem zbiorów cylindrycznych ${\displaystyle \mathrm {cyl} \,\mathbb {R} ^{[0,\infty )}}$ poprzez warunek

${\displaystyle \mu (C)={\mathsf {P}}((W_{t})_{t\geqslant 0}\in C)\quad (C\in \mathrm {cyl} \,\mathbb {R} ^{[0,\infty )}).}$

W przypadku, gdy wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe (co zawsze można osiągnąć dokonując modyfikacji procesu) miarę ${\displaystyle \mu }$ można wyznaczyć ze wzoru

${\displaystyle \mu (C)={\mathsf {P}}((W_{t})_{t\geqslant 0}\in C)}$

gdzie ${\displaystyle C}$ jest dowolnym borelowskim podzbiorem przestrzeni ${\displaystyle C[0,\infty )}$ funkcji ciągłych na ${\displaystyle [0,\infty )}$ z topologią zbieżności niemal jednostajnej (tj. zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych). Stąd o procesie Wienera można myśleć jako o pewnym rozkładzie probabilistycznym na przestrzeni ${\displaystyle C[0,\infty )}$^[5].

Proces wielowymiarowy

Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces ${\displaystyle n}$-wymiarowy definiuje się jako proces

${\displaystyle W=(W_{1},W_{2},\dots ,W_{n}),}$

gdzie ${\displaystyle W_{i}}$ to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. W przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest gęsta na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem nigdziegęstym.

Zobacz też

• Błądzenie losowe

Przypisy

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.
• Rafał Latała, Wstęp do Analizy Stochastycznej, Uniwersytet Warszawski, 2011.