Prosta pochyła

O prostej p mówimy, że jest pochyłą do prostej q, jeśli:

• p jest różna od q,
• p przecina q,
• p nie jest prostopadła do q.

Definicja bardziej zwięzła:

Pochyłą do prostej q nazywamy prostą p przecinającą prostą q pod kątem różnym od prostego^[1]

Można także definiować prostą pochyłą do płaszczyzny:

Pochyłą do płaszczyzny ${\displaystyle \alpha }$ nazywamy prostą p przecinającą płaszczyznę ${\displaystyle \alpha }$ pod kątem różnym od prostego^[1]

Własności w geometrii euklidesowej

Geometria euklidesowa. Prosta p pochyła do prostej q i prosta prostopadła r do prostej q w geometrii euklidesowej.

• Jeśli prosta p jest pochyła do prostej q, a prosta r jest prostopadła do prostej q, to proste p i r przecinają się.

Punkt C przecięcia prostych p i r znajduje się w odległości ${\displaystyle {\frac {AB}{\cos \alpha }}}$ od punktu A przecięcia prostych p i q i w odległości ${\displaystyle AB\operatorname {ctg} \alpha }$ od punktu B przecięcia prostych q i r.

• Jeśli dwie pochyłe do prostej p tworzą z tą prostą różne kąty ostre, to przecinają się.

Własności w geometrii hiperbolicznej

Geometria hiperboliczna. Prosta prostopadła r do prostej q równoległa do pochyłej p.

• Jeśli prosta p jest pochyła do prostej q, to istnieje taka prosta r prostopadła do q, która jest równoległa do p^[a].

Dowód. Niech A niech będzie punktem przeciecia prostych p i q, a ${\displaystyle \alpha }$ niech będzie kątem ostrym między nimi. Jeśli B jest takim punktem prostej q, że ${\displaystyle \alpha =\Pi (AB),}$ gdzie ${\displaystyle \Pi (AB)}$ jest kątem rówmnoległości odpowiadającym odcinkowi AB i kąt ostry między prostą p i półprostą AB jest równy ${\displaystyle \alpha .}$ Wtedy prosta r prostopadła do prostej q przechodząca przez punkt B jest równoległa do p.

• Z dowodu poprzedniej własności wynika, że istnieją proste prostopadłe do prostej p, które nie są równoległe do pochyłej q i nie przecinają jej^[b]. Własność tę ma prostopadła do q przechodząca przez każdy punkt C półprostej otwartej B\A^[c] Punkty takiej prostopadłej najpierw zbliżają się do pochyłej, do momentu, gdy obie proste mają wspólną prostopadłą, a następnie oddalają się od pochyłej i odległość ta dąży do nieskończoności^[2].

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982. (ros.)
• Иовлев Н.Н.: Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. Москва-Ленинград: 1930. (ros.)