Proste nadrównoległe

Każde dwie proste z umieszczonych na rysunku są prostymi nadrównoległymi (w modelu Poincaré)

Proste nadrównoległe^[1] – proste, które nie są równoległe i nie przecinają się. Nazywa się je często prostymi hiperrównoległymi^[2] lub prostymi rozbieżnymi.

Własności

• Dla każdych dwóch prostych nadrównoległych p i q istnieje prosta r, która jest do nich prostopadła. Odcinek tej prostej łączący punkty przecięcia z nimi jest najkrótszą odległością między p i q. Odległości punktów każdej z nich od drugiej dążą do nieskończoności, gdy ich odległość od prostej r dąży do nieskończoności^[3] (stąd nazwa proste rozbieżne)^[4].
• Ponieważ dwie proste prostopadłe do trzeciej są nadrównoległe^[5], więc, na podstawie poprzedniej własności, nadrównoległość prostych jest równoważna istnieniu wspólnej prostopadłej do niej.
• Prosta przechodząca przez środki dwóch boków trójkąta jest nadrównoległa z prostą zawierającą trzeci bok tego trójkąta^[6].
• Długość odcinka prostopadłej do dwóch prostych rozbieżnych, łączącego jej punkty przecięcia z nimi jest najmniejszą odległością między punktami tych prostych rozbieżnych ^[7].
• Wraz z oddalaniem się punktu jednej z dwóch prostych rozbieżnych od wspólnej prostej prostopadłej odległość tego punktu od drugiej prostej rośnie.
• Jeśli symetralne dwóch boków trójkąta są prostymi rozbieżnymi, to symetralna trzeciego boku jest prostopadła do ich wspólnej prostopadłej (a zatem jest rozbieżna do ich obu)^[8].

Przypisy

Bibliografia

• Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
• Иовлев Н. Н.: Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. Москва-Ленинград: 1930. (ros.).
• Kostin W.: Podstawy geometrii. Warszawa: 1961.
• Широков П: Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. Wyd. 2. Москва: Наyка, 1983. (ros.).