Prostopadłość

Prosta jest prostopadła do w punkcie ponieważ dwa kąty przez nie tworzone (oznaczone odpowiednio kolorem pomarańczowym i niebieskim) mają miarę 90 stopni.

Prostopadłośćrelacja między dwiema prostymi, dwiema płaszczyznami, między prostą a płaszczyzną, między parą krzywych lub wektorów[1].

  • Dwie proste są prostopadłe, gdy tworzą przystające kąty przyległe[2].
  • Prosta i płaszczyzna są prostopadłe, gdy prosta jest prostopadła do każdej prostej przecinającej prostą i zawartej w płaszczyźnie [3].
  • Dwie płaszczyzny i są prostopadłe, gdy istnieje prosta zawarta w płaszczyźnie i prostopadła do płaszczyzny [4].

Jeżeli dwie proste są prostopadłe, to kąt przez nie utworzony nazywa się kątem prostym. Jego miarą jest ½π radianów lub 90°.

Prostopadłość oznacza się znakiem Przykładowo zapis oznacza, ze prosta AB jest prostopadła do prostej CD.

Prostopadłość jest relacją symetryczną, przy czym:

  • nie jest zwrotna, tylko przeciwzwrotna (żadna prosta nie jest prostopadła do siebie samej),
  • nie jest przechodnia. Jeśli oraz to .

Twierdzenie o istnieniu prostej prostopadłej

Dla dowolnej prostej i dowolnego punktu istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej [5].

Konstrukcja

Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku obok prostopadłą do prostej i przechodzącą przez punkt kreśli się za pomocą cyrkla i linijki w następujący sposób:

  • krok 1: nakreślić okrąg o środku w celu znalezienia na prostej punktów i równoodległych od
  • krok 2: nakreślić okręgi o środkach w oraz które przechodzącą przez punkt będzie oznaczać drugi z punktów przecięcia tych okręgów;
  • krok 3: połączyć oraz aby skonstruować szukaną prostopadłą

Aby udowodnić, że rzeczywiście jest prostopadła do wystarczy skorzystać z twierdzenia o przystawaniu BBB dla trójkątów oraz które zapewnia o równości miar kątów i Następnie korzystając z twierdzenia o przystawaniu BKB dla trójkątów oraz otrzymuje się równość miar kątów i

Związek z równoległością

Proste i są równoległe, co pokazano strzałkami i są przecięte prostą transwersalną

W geometrii euklidesowej każde dwie proste prostopadłe do trzeciej są równoległe. Podobnie, jeżeli prosta jest prostopadła do innej, to jest prostopadła do każdej prostej równoległej do tej drugiej.

Zilustrowano to na rys. obok. Jeżeli dwie proste ( oraz ) są obie prostopadłe do trzeciej prostej to wszystkie stworzone na trzeciej prostej kąty są proste. Wszystkie zacieniowane na pomarańczowo kąty są przystające; podobnie kąty zacieniowane na zielono, ponieważ kąty wierzchołkowe są przystające, a naprzemianległe kąty wewnętrzne wyznaczone przez prostą transwersalną przecinającą proste równoległe są przystające. Stąd jeżeli proste oraz są równoległe, to jedno z następujących stwierdzeń pociąga pozostałe:

  • jeden z kątów na diagramie jest kątem prostym;
  • jeden z zacieniowanych na pomarańczowo kątów jest przystający do jednego z zacieniowanych na zielono;
  • prosta jest prostopadła do prostej
  • prosta jest prostopadła do prostej

Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych dowolne dwie proste na płaszczyźnie mogą być opisane równaniami

oraz

Są one prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy

Dla prostych nierównoległych do osi równania mogą przybrać postać:

oraz

Wielkości oraz nazywa się współczynnikami kierunkowymi tych prostych. Warunek prostopadłości sprowadza się wtedy do zależności

Prosta prostopadła do prostej o równaniu i przechodząca przez punkt ma równanie:

Prostopadłość w przestrzeni

Dla dowolnej płaszczyzny i dowolnego punktu istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do płaszczyzny [6].

Dla dowolnej prostej i dowolnego punktu istnieje dokładnie jedna płaszczyzna przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej [7].

Dla dowolnych dwóch prostych skośnych istnieje dokładnie jedna prosta prostopadła do nich obu jednocześnie[8].

Dane są 2 wektory:

Dla uproszczenia zakładamy, że początki obu tych wektorów znajdują się w tym samym punkcie, jakim jest początek układu współrzędnych Wówczas długości tych wektorów wynoszą odpowiednio:

Natomiast odległość ich końców od siebie jest równa:

Powyższe 3 wartości są długościami odpowiednich odcinków, które razem tworzą trójkąt Aby nasze wektory były względem siebie prostopadłe, trójkąt ten musi być prostokątny, a więc spełniać twierdzenie Pitagorasa:

Podstawiamy odpowiednie wyrażenia:

Pierwiastki uproszczają się z kwadratami, a więc zostają jedynie same wyrażenia podpierwiastkowe:

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, opuszczamy nawiasy:

Po redukcji wyrazów podobnych z obu stron powyższego równania, przyjmuje ono postać:

Ostatecznie, po podzieleniu obu stron równania przez -2, otrzymujemy szukany warunek na prostopadłość obu wektorów w przestrzeni:

Powyższe wyrażenie, będące kombinacją liniową naszych wektorów, można zapisać również w postaci ich iloczynu skalarnego:

Zobacz też

Przypisy

  1. prostopadłość, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-14].
  2. Karol Borsuk, Wanda Szmielew: Podstawy Geometrii. Wyd. III poprawione. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972, s. 119. Definicja 59.1.D.
  3. Borsuk, op. cit., s. 124 Definicja 64.1.D.
  4. Borsuk, op. cit., s. 127 Definicja 65.1.D.
  5. Borsuk, op. cit., s. 119 Twierdzenie 59.2.T, 59.3.T.
  6. Borsuk, op. cit., s. 126 Twierdzenie 64.4.T.
  7. Borsuk, op. cit., s. 125 Twierdzenie 64.3.T.
  8. Marek Kordos, Lesław W. Szczerba, Geometria dla nauczycieli, s. 221, Twierdzenie 2.14.T.

Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie

Perpendicular transversal v3.svg
Autor: Benzi455, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Two parallel lines a and b cut by a perpendicular transversal c. Created with Inkscape 0.44.1.