Przedłużenie analityczne

Rozszerzenie analityczne – metoda rozszerzająca dziedzinę danej funkcji analitycznej. Dzięki tej metodzie udaje się uzyskać więcej rozwiązań z funkcji, która np. w typowym rozwinięciu w szereg nieskończony jest rozbieżna lub nieciągła w zadanym początkowo otoczeniu.

Definicja

Dane są dwie funkcje analityczne określone na obszarach ${\displaystyle D_{1}}$ i ${\displaystyle D_{2}{:}}$

${\displaystyle f_{1}\colon D_{1}\to V_{1},}$

${\displaystyle f_{2}\colon D_{2}\to V_{2}.}$

Jeśli istnieje niepusty zbiór ${\displaystyle U=D_{1}\cap D_{2}}$ taki, że

1. ${\displaystyle U}$ jest obszarem,
2. dla każdego ${\displaystyle z\in U}$ zachodzi równość ${\displaystyle f_{1}(z)=f_{2}(z),}$

to można powiedzieć, że ${\displaystyle f_{2}}$ jest rozszerzeniem analitycznym ${\displaystyle f_{1}}$ i odwrotnie.

Zastosowanie

Popularnym sposobem na definiowanie funkcji w analizie zespolonej jest jej określenie na niewielkim obszarze, a następnie jej poszerzenie przez zastosowanie przedłużenia analitycznego. W praktyce takie rozszerzenie jest wykonywane przez ustanowienie równania funkcyjnego na niewielkiej dziedzinie, które następnie jest zastosowane do rozszerzenia dziedziny. Przykładami mogą być funkcja dzeta Riemanna^[1] i funkcja Γ^[2].

Początkowo zostało wprowadzone pojęcie przestrzeni nakrywającej aby zdefiniować naturalną dziedzinę przedłużenia analitycznego funkcji analitycznej. Pomysł znalezienia największego przedłużenia analitycznego funkcji doprowadził z kolei do rozwoju idei powierzchni Riemanna.

Przykład

Szereg geometryczny

Rozważmy funkcję

${\displaystyle f_{1}(z)=1+z+z^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}.}$

W klasycznym ujęciu przedstawia ona sumę szeregu geometrycznego o ilorazie ${\displaystyle z.}$ Z warunku zbieżności szeregu geometrycznego wynika, że funkcja jest określona tylko dla wartości:

${\displaystyle \mathrm {dom} (f_{1})=D_{1}=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}.}$

Z drugiej strony sumę zbieżnego szeregu geometrycznego o ilorazie ${\displaystyle z}$ możemy zapisać jako

${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {1}{1-z}},}$

która jest określona dla wszystkich liczb zespolonych ${\displaystyle z}$ oprócz liczby 1:

${\displaystyle \mathrm {dom} (f_{2})=D_{2}=\mathbb {C} \setminus \{1\}.}$

Na obszarze ${\displaystyle D_{1}\cap D_{2}=D_{1}}$ obie funkcje są sobie równe, więc funkcję ${\displaystyle f_{2}}$ możemy traktować jako przedłużenie analityczne funkcji ${\displaystyle f_{1}}$ na obszar ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$^[3].

Wyniki uzyskiwane za pomocą funkcji ${\displaystyle f_{2}}$ teoretycznie umożliwiają obliczenie wartości szeregów rozbieżnych, np.:

${\displaystyle 1-1+1-1+\ldots =f_{1}(-1)=f_{2}(-1)={\frac {1}{1-(-1)}}={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle 1+2+4+8+\ldots =f_{1}(2)=f_{2}(2)={\frac {1}{1-2}}=-1.}$

W takich przypadkach problemem jest odpowiednia interpretacja wyników.

Zobacz też

• szereg 1 + 2 + 4 + 8 + …
• szereg Grandiego

Przypisy

Bibliografia

• MarcinM. Wójcik MarcinM., Przedłużenie analityczne Powierzchnia Riemanna, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH, 25 stycznia 2010 [zarchiwizowane z adresu 2013-04-06] .

Linki zewnętrzne

• Przedłużenie analityczne na PlanetMath. (ang.)
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Przedłużenie analityczne, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). (ang.)