Przedział (matematyka)

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Definicje formalne

Niech ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech ${\displaystyle x,y\in X}$ oraz ${\displaystyle x\leqslant y.}$

Przedziałem wyznaczonym przez ${\displaystyle x,y}$ jest jeden z następujących zbiorów:

• ${\displaystyle (x,y):=\{z\in X:x<z<y\}}$ – przedział (obustronnie) otwarty,
• ${\displaystyle [x,y):=\{z\in X:x\leqslant z<y\}}$ – przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty),
• ${\displaystyle [x,y]:=\{z\in X:x\leqslant z\leqslant y\}}$ – przedział (obustronnie) domknięty,
• ${\displaystyle (x,y]:=\{z\in X:x<z\leqslant y\}}$ – przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty).

Ponadto

• ${\displaystyle (-\infty ,y):=\{z\in X:z<y\}}$ – przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie otwarty,
• ${\displaystyle (-\infty ,y]:=\{z\in X:z\leqslant y\}}$ – przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty,
• ${\displaystyle (x,+\infty ):=\{z\in X:x<z\}}$ – przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie otwarty,
• ${\displaystyle [x,+\infty ):=\{z\in X:x\leqslant z\}}$ – przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie domknięty.

Jeśli w zbiorze uporządkowanym ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ istnieje element największy, to definicja przedziału prawostronnie nieograniczonego jest zbędna; jeśli istnieje element najmniejszy, to definicja przedziału lewostronnie nieograniczonego jest zbędna.

Dla pełności należy dodać jeszcze następujące dwie definicje:

• ${\displaystyle (\infty ,\infty ):=\{z\in X\}=X}$ – przedział obustronnie nieograniczony, czyli cały zbiór ${\displaystyle (X,\leqslant ).}$
• ${\displaystyle \varnothing }$ – przedział pusty, czyli przedział niezawierający żadnego elementu; takim przedziałem są np. ${\displaystyle (x,x),\;(x,x],\;[x,x).}$

Oznaczenia

Niektórzy autorzy używają oznaczeń ${\displaystyle (x,y)_{X},}$ ${\displaystyle [x,y]_{X}}$ itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku.

Często zamiast ${\displaystyle [x,y]}$ stosuje się oznaczenie ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy jednak zwrócić uwagę, że zarówno ${\displaystyle (x,y),}$ jak i ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje zamiast oznaczeń ${\displaystyle (x,y],[x,y),(x,y)}$ dla przedziałów lewo- i prawo- lub obustronnie otwartych stosowanie następujących oznaczeń ${\displaystyle ]x,y],\ [x,y[,\ ]x,y[.}$

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

Przykłady

• Najczęściej spotykane przykłady przedziałów to przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych:
  • ${\displaystyle (0,1)}$ – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż ${\displaystyle 1,}$
  • ${\displaystyle [2,e)}$ – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych ${\displaystyle 2,}$ ale mniejszych niż ${\displaystyle e,}$
  • przedział nieskończony ${\displaystyle (\pi ,\infty )}$ złożony z wszystkich liczb większych niż ${\displaystyle \pi ,}$
  • ${\displaystyle (0,0),\ (7,7],\ [2,2)}$ – przedziały puste,
  • ${\displaystyle [4,4]}$ – przedział jednopunktowy ${\displaystyle \{4\}.}$
• Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane: ${\displaystyle (-5,5)_{\mathbb {Z} }}$ jest zbiorem skończonym (jest to ${\displaystyle \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}}$), ale ${\displaystyle (-5,5)_{\mathbb {Q} }}$ jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od –5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział ${\displaystyle (a,b]}$ pomiędzy liczbami rzeczywistymi ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn. ${\displaystyle (a,b]_{\mathbb {R} },}$ podobnie dla innych przedziałów.
• Rozważmy płaszczyznę ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez ${\displaystyle \langle x_{1},y_{1}\rangle <\langle x_{2},y_{2}\rangle \iff x_{1}\leqslant x_{2}}$ i ${\displaystyle y_{1}\leqslant y_{2},}$ gdzie relacja ${\displaystyle \leqslant }$ jest naturalnym porządkiem na prostej ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Wówczas przedział domknięty ${\displaystyle {\big [}\langle 0,0\rangle ,\langle 1,1\rangle {\big ]}_{\mathbb {R} ^{2}}}$ jest domkniętym kwadratem o wierzchołkach w ${\displaystyle \langle 0,0\rangle ,\langle 0,1\rangle ,\langle 1,0\rangle ,\langle 1,1\rangle ,}$ tzn. zbiorem ${\displaystyle \left\{\langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant x\leqslant 1\ \land \ 0\leqslant y\leqslant 1\right\}.}$

Własności

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ będzie porządkiem liniowym.

• Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem.
• Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem, albo sumą dwóch przedziałów.
• Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
• Otwarte przedziały w ${\displaystyle X}$ tworzą bazę pewnej topologii na ${\displaystyle X}$ – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na ${\displaystyle X}$ albo topologią porządkową na ${\displaystyle X}$.
• Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Zobacz też

• przedział jednostkowy
• przedział wielowymiarowy
• zakres (programowanie)
• zbiór borelowski